Exercice 1 — Énoncé — Olympiades 2010 Toulouse

Sujet

Compensation

En Pivoinie, les logements mis sur le marché locatif se partagent en deux catégories : les logements appartenant à des particuliers désireux de les louer, appelés «logements privés », et les logements appartenant à l'état, appelés «logements publics».

Dans ce pays, les propriétaires de logements privés sont imposés sur les loyers qu'ils reçoivent de leurs locataires. Le taux de cet impôt, fixé par le conseil des capitans, est de \(20 \%\) en 2010 et il est prévu qu'il soit de \(25 \%\) en 2011.

Les propriétaires de logements privés souhaitent que les revenus qu'ils tirent de la location de leur bien (impôt déduit) soient identiques en 2010 et 2011. De combien, en pourcentage, peuvent-ils augmenter les loyers réclamés à leurs locataires pour cela?
On prévoit que l'évolution du parc des logements d'une année à l'autre sera très faible; elle sera considérée comme négligeable. Les capitans, quant à eux, veulent pouvoir annoncer que la moyenne, d'augmentation des loyers entre 2010 et 2011 sera de \(3 \%\) au plus. Pour atteindre cet objectif de communication, ils n'augmentent pas les loyers des logements publics entre 2010 et 2011. Quelle proportion du total des loyers représente le total des loyers des logements publics?

Soit \(U\) le total des loyers des logements publics en 2010, \(R\) le total des loyers des logements privés en 2010, \(U^{\prime}\) et \(R^{\prime}\) en 2011.
On a : \(0,8 R=0,75 R^{\prime}\), d'où \(R^{\prime}=\frac{80 R}{75}=1+\frac{5}{75} R\).
Les loyers ont donc augmenté de \(\frac{5}{75}=6,666 \%\)
On a \(U^{\prime}+R^{\prime} \leqslant 1,03(U+R)\), avec \(U^{\prime}=U\) et \(R^{\prime}=\frac{80 R}{75}\), d'où \(\left(\frac{80}{75}-1,03\right) R \leqslant 0,03 U\), soit \(\frac{11}{300} R \leqslant 0,03 U\).
On en déduit \(\frac{U}{R} \geqslant \frac{11}{9}\) et \(\frac{U}{U+R} \geqslant \frac{11}{20}=55 \%\) : les logements publics doivent représenter au moins 55\,\% du total des loyers.
Le corrigé source inversait le sens de ces trois inégalités (\(\leqslant\) au lieu de \(\geqslant\)) ; recalcul vérifié indépendamment, l'énoncé demandant une proportion minimale, ce qui est cohérent avec \(\geqslant\).