Olympiades · Académie Strasbourg · 2010 · Séries autres que S
Numération
Les permutations de chiffres
Charles dit à Jean-Marc: «Je prends le nombre 370. Je permute les chiffres de toutes les manières possibles et j'obtiens : 370, 307, 073, 037, 730 et 703.
Je calcule leur moyenne, le résultat vaut 370 c'est-à-dire le nombre de départ. Peux-tu me donner tous les autres nombres à 3 chiffres distincts vérifiant aussi cette propriété? »
\[ 4 a b, 4 b a, a b 4, a 4 b, b a 4, b 4 a \]
Leur somme est donc \((4+a+b)(200+20+2)=(4+a+b) \times 222\) car chacun des trois chiffres figure 2 fois dans chaque position.
En appelant \(a\) celui des deux chiffres différents de 4 qui est avant l'autre, on obtient
Si 4 est le premier chiffre
\[\begin{align*} & 400+10 a+b=37(4+a+b) \tag{1}\\ & 100 a+40+b=37(4+a+b) \tag{2}\\ & 100 a+10 b+4=37(4+a+b) \tag{3} \end{align*}\]
Si 4 est le deuxième chiffre
Si 4 est le troisième chiffre
Après simplification, (1) s'écrit ( \(1^{\prime}\) ) \(28=3 a+4 b\) ou \(4(7-b)=3 a\).
\(a\) est donc multiple de \(4: a=4 u\) et \(7-b=3 u\).
D'où les solutions \(u=0, a=0, b=7 ; u=1, a=4, b=4\) et \(u=2, a=8, b=1\)
et les deux nombres 407 et 481 .
De même (2) s'écrit (2') \(7 a=12+4 b=4(3+b)\)
\(a\) doit être multiple de 4 : \(a=4 u\) et \(3+b=7 u\)
On doit avoir \(7 u \geqslant 3\) donc \(u>0\) et \(7 u \leqslant 3+9=12\) donc \(u=1\), mais alors \(a=b=4\) ne convient pas.
Enfin (3) s'écrit (3') \(7 a=16+3 b\) ou \(7(a-1)=3(b+3)\) qui a la seule solution \(a=4, b=4\) qui ne convient pas.
2. Sooit \(a\) le chiffre des centaines, \(b\) celui des dizaines et \(c\) celui des unités.
On a \(100 a+10 b+c=37(a+b+c)\)
ou \(63 a=27 b+36 c\)
ou \(\quad 7 a=3 b+4 c\)
ou \(3(a-b)=4(c-a)\)
On en déduit que ( \(a-b\) ) est divisible par \(4:(a-b)=4 u\) alors \(c-a=3 u\) et \(c-b=(a-b)+(c-a)=7 u\) d'où \(-9 \leqslant 7 u \leqslant 9\) et les seules valeurs de \(u\) sont - 1 et 1 car, si \(u=0, a=b=c\) ce qui est exclus.