Olympiades · Académie Strasbourg · 2010 · Séries autres que S
Statistiques / Pourcentages
Le baccalauréat
L'an dernier, à Olympialand, \(90 \%\) des élèves de première ont eu la moyenne à l'épreuve écrite du baccalauréat de français. Parmi les candidats, \(95 \%\) des filles et \(78 \%\) de garçons ont eu la moyenne.
Par ailleurs, le nombre de filles est compris entre 1100 et 1300 . On sait en outre que les pourcentages n'ont pas été arrondis.
Combien étaient-ils à passer cette épreuve?
Soit \(f\) et \(g\) les nombres de filles et de garçons candidats et \(f_{0}\) et \(g_{0}\) les nombres de ceux qui ont eu la moyenne.
On a \(f_{0}+g_{0}=\frac{90}{100}(f+g)\) ou \(10\left(f_{0}+g_{0}\right)=9(f+g)\) avec 10 et 9 premiers entre eux.
\[ \begin{aligned} & f_{0}=\frac{95}{100} f \text { ou } 20 f_{0}=19 f \text { avec } 20 \text { et } 19 \text { premiers entre eux. } \\ & g_{0}=\frac{78}{100} g \text { ou } 50 g_{0}=39 g \text { avec } 50 \text { et } 39 \text { premiers entre eux. } \end{aligned} \]
On en déduit qu'il existe trois entiers \(\lambda, \mu, \nu\) tels que
\[ f=20 \lambda \text { et } f_{0}=19 \lambda ; g=50 \mu \text { et } g_{0}=39 \mu ; f+g=10 \nu \text { et } f_{0}+g_{0}=9 \nu ; \]
On a donc
\[ \left\{\begin{array} { r l } { 2 0 \lambda + 5 0 \mu } & { = 1 0 \nu } \\ { 1 9 \lambda + 3 9 \mu } & { = 9 \nu } \end{array} \text { et } \left\{\begin{array}{rl} 2 \lambda+5 \mu & =\nu \\ 19 \lambda+39 \mu & =9 \nu \end{array}\right.\right. \]
D'où : \(17 \lambda=6 \nu\) et \(17 \mu=\nu\) d'où \(\lambda=6 \mu\) et \(f=120 \mu\).
Mais, par ailleurs, \(1100 \leqslant f \leqslant 1300\)
et la seule possibilité est \(\mu=10\) d'où \(f=1200, g=500\) et \(f+g=1700\).