Exercice 2

1. Il existe

9 nombres à 1 chiffre à partir de \(1 \quad\) soit \(\quad 9\) chiffres
90 nombres à 2 chiffres à partir de 10 soit 180 chiffres
900 nombres à 3 chiffres à partir de 100 soit 2700 chiffres
Et 1011 nombres à 4 chiffres de 1000 à 2010 soit 4044 chiffres
Soit 6933 chiffres pour \(N\).
2. \(2010=9+180+1821=9+180+3 \times 607\)

Le \(2010^{\text {ème }}\) chiffre de \(N\) est donc le dernier chiffrre du \(607^{\text {ème }}\) nombre de 3 chiffres, soit \(607+99=\) 706, donc 6 .
3.

1. Soit \(N_{n}\) le nombre obtenu en écrivant les nombres de 1 à \(n\), les uns à la suite des autres
   \(N_{n+1}=10^{p} N_{n}+n+1\) où \(p\) est le nombre de chiffres de \(n\).
   Montrons par récurrence sur \(n\) que si \(n\) est divisible par 3, il en est de même de \(N_{n}\).
   En effet, pour \(n=3, N_{n}=123\) est bien divisible par 3.
   Supposons \(N_{n}\) et \(n\) divisibles par 3 alors, en calculant modulo 3 :
   \(N_{n+1}=1\) et \(N_{n+2}=1+2=0, N_{n+3}=N_{n+2}=0\).
   Ainsi \(N_{3 k}\) et \(N_{3 k+2}\) sont multiples de 3 et \(N_{3 k+1}=1(\bmod 3)\).
   En particulier, 2010 et donc \(N\) sont des multiples de 3.