Sujet
Les chemins sur le cône
On dispose d'un cône de sommet S de base circulaire de rayon 1 et de hauteur \(h\) donnée. On place deux points A et B diamétralement opposés sur la base de ce cône. Pour aller de A à B , trois chemins sont possibles :
- le chemin 1 contourne la base
- le chemin 2 monte de A vers S en ligne droite, s'arrête à l'altitude \(x\), contourne le cône en restant à l'altitude \(x\) puis redescend en ligne droite pour atteindre B .
- le chemin 3 va de A à S puis de S à B en ligne droite.
- Si \(h=2\) et \(x=1\), lequel des trois chemins est le plus court?
- Si \(h=2\), quel est le chemin de type 2 le plus court?
- Dans le cas général, quel est le chemin le plus court?
Soit \((\mathrm{IJ}) / /(\mathrm{AK})\) tel que \(K J=x\).
Par Thalès et Pythagore,
\[ I J=\frac{h-x}{h}, \text { et } A I=\frac{x}{h} \sqrt{1+h^{2}} . \]
Les trois chemins ont pour longueur
\[ \pi, \frac{2 x}{h} \sqrt{1+h^{2}}+\pi \frac{h-x}{h} \text { et } 2 \sqrt{1+h^{2}} . \]
- Si \(h=2\) et \(x=1, \sqrt{1+h^{2}}=\sqrt{5}\) et \(2 \sqrt{5}>4>\pi\), et \(\sqrt{5}+\frac{\pi}{2}>\pi\).
Le chemin 1 est le plus court.
2. Si \(0 \leqslant x \leqslant h\), la longueur du chemin 2 est la moyenne de la longueur des chemins 1 et 3 affectés des coefficients \(\frac{x}{h}\) et \(1-\frac{x}{h}\).
Elle est donc comprise entre \(\pi\) et \(2 \sqrt{5}\) et son minimum \(\pi\) est atteint pour \(x=0\).