Exercice 4 — Énoncé — Olympiades 2010 Rouen

Sujet

Un QCM de mathématiques est composé de 5 questions. Pour chaque question, une bonne réponse rapporte 4 points, une réponse fausse retire 2 points et une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif, la note finale attribuée au QCM est 0 . A l'issue de ce QCM, quatre candidats, Alex, Benjamin, Camille et Delphine ont obtenu la note 0. Déterminer, pour chacun de ces candidats, le nombre de réponses fausses et le nombre de bonnes réponses sachant que :

Chacun a couple (nombre de réponses fausses, nombre de bonnes réponses) différent de celui de ses trois autres camarades.
Alex a eu autant de bonnes réponses que d'absences de réponse.
Très joueur, Benjamin ne s'est jamais abstenu de répondre.
Camille et Delphine ont répondu correctement aux mêmes nombres de questions.
Alex s'est abstenu autant de fois que Delphine qui s'est montrée plus audacieuse que Camille.

Soient \(a, b, c, d\) le nombre de bonnes réponses de chacun, \(a^{\prime}, b^{\prime}, c^{\prime}, d^{\prime}\) le nombre de réponses fausses.

les 4 couples \(\left(a, a^{\prime}\right),\left(b, b^{\prime}\right),\left(c, c^{\prime}\right),\left(d, d^{\prime}\right)\) doivent être distincts.
Les 4 candidats ont obtenu la note 0 , donc

\[ 4 a-2 a^{\prime} \leqslant 0,4 b-2 b^{\prime} \leqslant 0,4 c-2 c^{\prime} \leqslant 0,4 d-2 d^{\prime} \leqslant 0 \]

ou \(a^{\prime} \geqslant 2 a, b^{\prime} \geqslant 2 b, c^{\prime} \geqslant 2 c, d^{\prime} \geqslant 2 d\)

\(a=5-\left(a+a^{\prime}\right), b+b^{\prime}=5, c=d, 5-\left(a+a^{\prime}\right)=5-\left(d+d^{\prime}\right)>5-\left(c+c^{\prime}\right)\).

On en déduit

\(b^{\prime}=5-b \geqslant 2 b\) ou \(3 b \leqslant 5\), ou, comme \(b\) est entier, \(b \leqslant 1\).

Donc, ou bien \(b=0\) et \(b^{\prime}=5\), ou bien \(b=1\) et \(b^{\prime}=4\).

\(2 a \leqslant a^{\prime}=5-2 a\) d'où \(4 a \leqslant 5\) et \(a=0\) ou \(a=1\).

★ Si \(a=0, a^{\prime}=5, a+a^{\prime}=5\) et \(d+d^{\prime}=a+a^{\prime}=5\).
\(5-d=d^{\prime} \geqslant 2 d\) d'où \(3 d \leqslant 5\) et \(d \leqslant 1: d=0\) et \(d^{\prime}=5\) ou \(d=1\) et \(d^{\prime}=4\).
Mais alors on aurait les deux couples \((0,5)\) et \((0,5)\), ce qui n'est pas possible, ou \((0,5)\) et \((1,4)\) et on retrouverait le couple \(\left(b, b^{\prime}\right)\).
★ Si \(a=1, a^{\prime}=5-2=3, d+d^{\prime}=a+a^{\prime}=4\) et \(d^{\prime} \geqslant 2 d\) d'où \(4 \geqslant 3 d\) et \(d=1\) ou 0 .
★ Si \(d=1, d^{\prime}=3\) et on retrouve le couple ( \(a, a^{\prime}\) ). La seule possibilité est \(d=0, d^{\prime}=4\).
\(\star\) Si \(d=0, d^{\prime}=4\) on a \(c=0\) et \(c^{\prime}>d^{\prime}\) donc \(c^{\prime}=5\), mais alors \(\left(b, b^{\prime}\right)=(1,4)\).
On a fréquemment l'unique solution \((1,3),(1,4),(0,5),(0,4)\).