Exercice 2

Sujet

Cartes de Janus

Dans un jeu de 32 cartes, il y a quatre couleurs : trèfle, carreau, cœur et pique. Ces couleurs vont par deux : on dit que

• cœur et pique se ressemblent ;
• carreau et trèfle se ressemblent;
• carreau et pique sont complémentaires;
• cœur et trèfle sont complémentaires.

Dans chacune de ces couleurs, il y a 8 hauteurs de carte, qui sont dans l'ordre croissant \(7,8,9,10, \mathrm{~V}, \mathrm{D}\), R, A( A signifie as).

Les hauteurs complémentaires sont

• la première et la dernière
• la deuxième et l'avant dernière
• etc.

On décide de fabriquer un nouveau jeu de 32 cartes, toutes différentes, en collant dos à dos, deux jeux de 32 cartes des deux façons suivantes :

• La première façon est de coller deux cartes de même hauteur avec des couleurs qui se ressemblent (mais pas identiques), on appelle ces cartes-ci les cartes parallèles. Par exemple, une face \(7 \varnothing\) et une face \(7 \boldsymbol{\infty}\). On note cette carte \(7 \Omega / 7 \boldsymbol{\infty}\).
• La deuxième façon est de coller deux cartes de hauteurs complémentaires avec des couleurs complémentaires, on appelle ces cartes-là les cartes complémentaires. Par exemple, une face \(7 \circlearrowleft\) et une face A\%. On note cette carte 7/O/A\%.
  Le jeu ainsi fabriqué s'appelle le jeu de Janus; il a été inventé an 1988 par Roland Yéléhada.

1. Enumérer toutes les cartes de Janus.

Le jeu des mariages consiste à former des paires de cartes rigoureusement identiques (hauteur et couleur). On étale les 32 cartes de Janus sur la table. Chaque joueur prend à tour de rôle une paire parfaite, par exemple deux valets de cœur, tant que c'est possible. Quand il n'y en a plus, le joueur retourne une seule carte :

• s'il a créé une paire parfaite, il la prend puis c'est au tour du joueur suivant,
• s'il n'a créé aucune paire parfaite, il ne prend rien, laisse la carte retournée et c'est au tour du joueur suivant.
  Les cartes retirées ne sont pas retournées pour qu'on ne voie pas ce qu'il y a au dos. Le joueur qui gagne est celui qui a retiré le plus de paires parfaites. On joue pour le moment avec 4 cartes de Janus : 7 V \(/ 7\), \(7 \diamond / \mathrm{A}\) \%, \(\mathrm{A} \diamond / \mathrm{A}\) \%, \(\mathrm{A} \diamond / 7\) \%
  Maud joue contre son Papy. C'est toujours elle qui commence la partie.

1. Y a-t-il une partie dans laquelle Maud ne ramasse pas une paire parfaite au premier tour?

On joue maintenant avec toutes les 32 cartes.
Maud joue en second et c'est à elle de jouer. Il y a un roi de carreau visible, elle cherche le deuxième roi de carreau. Est-il obligatoire que le deuxième roi de carreau se trouve encore sur la table?
Quelle(s) carte(s) peut-elle retourner pour le trouver s'il est encore là? Sur quelle(s) autre(s) carte(s) risque-t-elle de tomber?