Sujet
On a tracé ci-dessous la courbe représentative, dans un repère orthonormal d'unité 1 cm , de la fonction définie par \(f(x)=\frac{1}{4} x^{2}\), pour tout \(x\) réel. La lecture d'informations sur ce graphique pourra être utile dans la suite de ce problème.
Soit ( \(E\) )l'équation \(x^{2}+b x+c=0\).
- Montrer que l'équation ( \(E\) ) admet deux solutions distinctes si, et seulement si, \(c<\frac{1}{4} b^{2}\).
Décrire, dans ce cas, la position du point M de coordonnées \((b ; c)\) par rapport à la courbe de la fonction \(f\) tracée dans le repère ci-dessus.
2. Dans une urne contenant 11 boules indiscernables au toucher, numérotées de -5 à 5 , on tire au hasard une boule dont on note le numéro que l'on remet dans l'urne puis on tire une seconde boule dont on note également le numéro. \(b\) prend comme valeur le numéro porté par la première boule et \(c\) prend comme valeur celle de la deuxième boule de façon à constituer les coefficients de l'équation \((E)\). Soit \(A\) l'événement «l'équation ( \(E\) ) possède deux solutions distinctes » et \(B\) « l'équation ( \(E\) ) possède une unique solution ». Déterminer, à l'aide du graphique ci-dessus, \(P(A)\) et \(P(B)\).
3. On suppose désormais que les coefficients \(b\) et \(c\) de l'équation \((E)\) sont obtenus aléatoirement dans l'intervalle \([-5 ; 5]\).
a. Encadrer l'aire du domaine colorié sur le repère ci-dessus entre deux entiers.
On considèrera dans la suite comme valeur approchée de cette aire la moyenne de ces deux entiers.
b. Evaluer \(P(A)\) et \(P(B)\) dans le cadre de cette expérience.
c. Un jardinier a décoré de fleurs un terrain de forme carrée (comme ABCD ci-dessous) contenant une partie parabolique correspondant à la partie colorée. Il a planté des centaines de fleurs uniformément sur ce terrain carré. Donner un moyen au jardinier de retrouver l'aire de la surface colorée.
- (E) équivaut à \(\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}+c-\frac{b^{2}}{4}=0\)
ou \(\left(x+\frac{2}{2}\right)^{2}=\frac{b^{2}-4 a c}{4}\)
Cette équation a
- deux racines : \(x= \pm \frac{\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2}-\frac{b}{2}\) si \(b^{2}-4 a c>0\).
- une racine \(x=-\frac{b}{2}\) si \(b^{2}-4 a c=0\),
- pas de racine si \(b^{2}-4 a c<0\).
La condition \(c<\frac{1}{4} b^{2}\) exprime que M est au-dessous de la parabole.
2. Il y a \(11 \times 11=121\) couples \((b, c)\) de même probabilité \(\frac{1}{121}\).
Un décompte sur la figure montre que le nombre de points a coordonnées entières qui satisfont \(c>\frac{1}{4} b^{2}\) et \(-5 \leqslant b \leqslant 5,-5 \leqslant c \leqslant 5\) est égal à \(9+7+7+5+3=31\) et le nombre de ceux qui satisfont \(c=\frac{1}{4} b^{2}\) est égal à 5 .