Exercice 2

Sujet

Les écailles de poisson

Questions préliminaires

1. Exprimer l'aire d'un triangle équilatéral en fonction de la longueur de son côté.
2. Exprimer l'aire d'un secteur circulaire (figure ci-contre) en fonction de son rayon \(R\) et de l'angle au centre \(\alpha\).
   

Partie A

Sur le dos du poisson mâle « piscis geometricus», les écailles sont des cercles de même rayon \(R\), disposés les uns au-dessus des autres.

1. On a relevé sur le poisson la configuration d'écailles reproduite sur la figure ci-dessous : les centres des cercles sont alignés, et espacés d'une distance égale à \(R\). Déterminer la surface apparente d'une écaille hachurée :
   
2. Sur le dos du poisson, des écailles situées de part et d'autre de l'arête dorsale laissent apparaître des écailles dorsales en forme de «losanges curvilignes». Déterminer la surface d'une écaille dorsale représentée sur la figure ci-dessous :
   
3. Sur les flancs du poisson, les écailles sont des cercles de même rayon \(R\), dont les centres sont équidistants les uns des autres, formant un réseau de triangles équilatéraux de côté \(R\). Sur toute la surface de la peau du poisson, les écailles se chevauchent comme indiqué sur la figure suivante. Déterminer la surface apparente d'une écaille.