Exercice 1 — Énoncé — Olympiades 2010 Rennes

Sujet

Jack et le haricot magique
Jack a planté un haricot magique, qui mesure déjà dix mètres de haut lorsqu'il décide de l'escalader. Jack est un lilliputien, qui n'est capable de grimper que d'un mètre par jour : il voudrait parvenir tout en haut de ce haricot magique mais, chaque nuit, pendant que Jack dort sur une feuille, le haricot pousse et sa tige s'allonge uniformément de 3 m : pendant son sommeil, Jack s'éloigne ainsi à la fois du sol et du sommet de la plante!

L'objectif de cet exercice est de déterminer si Jack pourra atteindre son but.

Justifier que, au coucher du \(2^{\text {ème }}\) jour, il lui reste \(10,70 \mathrm{~m}\) à escalader.
Compléter le tableau suivant avec des valeurs approchées au centième.

Jour	Hauteur du haricot	Hauteur restant à escala- der au réveil	Hauteur restant à escala- der au coucher
1	10
2
3
4

Jack atteindra-t-il le sommet du haricot magique? Si oui, quel jour?

Pour répondre à cette question, on pourra utiliser la calculatrice après avoir précisé les relations existant entre les différentes grandeurs en jeu dans le tableau précédent.

\(H_{n}=\) hauteur du haricot, suite arithmétique de raison \(3: H_{n}=7+3 n\).
\(C_{n}=\) coefficient d'allongement : \(C_{n}=1+\frac{3}{H_{n}}=1+\frac{3}{7+3 n}\)
\(M_{n}=\) distance restant à parcourir au matin \(M_{n+1}=S_{n} \times C_{n}=S_{n}\left(1+\frac{3}{7+3 n}\right)\)
\(S_{n}=\) distance restant à parcourir au soir : \(S_{n+1}=M_{n+1}-1=S_{n}\left(1+\frac{3}{7+3 n}\right)-1\)
Ce qui se traduit dans le tableau de la page suivante :