Sujet
Paloma joue avec la fonction calculatrice de son téléphone portable. Elle a remarqué qu'en effectuant des divisions, elle obtient en général des résultats avec des groupes de chiffres qui se répètent.
- Elle effectue la division de 4 par 9 , puis de 4 par 99 et de 4 par 999 . Elle remarque des particularités et tape une division qui lui donne pour résultat \(0,000300030003 \ldots\) Quelle division a-t-elle pu effectuer?
- Tandis qu'elle essaye des divisions à trois chiffres, elle obtient le résultat \(0,437437437 \ldots\), mais, interrompue par un coup de fil, elle ne souvient plus de la division qu'elle a effectuée. Quels sont les deux nombres qu'elle avait tapés?
- En essayant ensuite avec des divisions de 4 chiffres par trois chiffres elle tombe sur \(3,023232323 \ldots\) et est de nouveau interrompue par un coup de fil. Quelle division avait-elle effectué cette fois-ci?
- En généralisant, peut-on dire que tout nombre ayant une écriture décimale périodique à partir d'un certain rang est un nombre rationnel? (Rappel : On appelle nombre rationnel, un nombre qui peut s'écrire comme le quotient de deux nombres entiers)
- On souhaite étudier la réciproque de l'affirmation précédente. Justifier soigneusement que l'écriture décimale d'un nombre rationnel est périodique.
Remarque : la règle des signes permet de se limiter à des nombres et fractions positifs.
- \(0,000300030003 \ldots=3\left[10^{-4}+10^{-8}+10^{-12} \ldots\right]\)
\[ =\frac{3 \times 10^{-4}}{1-10^{-4}}=\frac{3}{10^{4}-1}=\frac{3}{9999}=\frac{1}{3333}=\cdots \]
- \(0,437437437 \ldots=437\left[10^{-3}+10^{-6}+10^{-9} \ldots\right]=\frac{437 \times 10^{-3}}{1-10^{-3}}=\frac{437}{999}\),
fraction irréductible; toute fraction égale à celle-ci a un dénominateur de plus de trois chiffres. - \(3,023232323 \ldots=3+23\left[10^{-3}+10^{-5}+10^{-7}+10^{-9}+\cdots\right]\)
\[ =3+\frac{23 \times 10^{-3}}{1-10^{-2}}=3+\frac{2,3}{99}=\frac{299,3}{99}=\frac{2993}{990}, \]
fraction irréductible et toute autre fraction égale à celle-ci a un dénominateur de plus de trois chiffres.
4. Si \(x\) a une écriture décimale périodique, on peut écrire
\[ x=a+m\left[10^{-(p+q)}+10^{-(2 p+q)}+\cdots\right]=a+m \frac{10^{-(p+q)}}{1-10^{-p}}=a+\frac{m}{\left(10^{p}-1\right) 10^{q}} \]
où \(a\) est un nombre décimal ayant \(q\) chiffres après la virgule et \(m\) un entier à \(p\) chiffres. Le nombre de droite est bien un rationnel.