Sujet
Deux amis parcourent en sens inverse le bord d'un champ triangulaire ABM . Ils partent du milieu S de AB et marchent à la même vitesse. Le côté AM étant plus long que le côté MB , ils se croisent en un point de AM. Ils voudraient déterminer la position de ce point en utilisant leur boussole (qui leur permet de repérer une direction, et de mesurer l'angle de deux directions). Ils décident de recourir à Internet, et utilisent les mots clés suivants : triangle milieu côté partage périmètre parallèle.
- Expliquer ce choix des mots clés.
Ils obtiennent la figure suivante, dans laquelle I et J sont les milieux des deux arcs \(\wideparen{A B}\) d'un cercle de centre, O et M un point d'un de ces \(\operatorname{arcs}\) avec \(A M>M B\). S est le milieu de la corde AB , et N le pied de la perpendiculaire à (AM) issue de I . Cette perpendiculaire recoupe le cercle en K , et la droite (KB) coupe la droite (AM) en \(\mathrm{B}^{\prime}\).
Il est affirmé que :
a) (MJ) est bissectrice de \(\widehat{A M B}\).
b) \(J K=M B\) et (MJ) est parallèle à ( KB ).
c) JMB'K est un parallélogramme et \(M B=M B^{\prime}\).
d) Le triangle \(\mathrm{AB}^{\prime} \mathrm{K}\) est isocèle, et N est le milieu du segment \(\left[\mathrm{AB}^{\prime}\right]\).
e) Les droites (SM) et (MJ) sont parallèles.
2. Expliquer comment ce résultat fournit aux deux amis la solution à leur problème.
3. N'accordant qu'une confiance limitée à Internet, ils décident de démontrer les affirmations précédentes. Faites de même
- a. On a \(\wideparen{J A}=\wideparen{J B}\) donc \(\widehat{A M J}=\widehat{B M J}\) et (MJ) est bissectrice de \(\widehat{A M B}\).