Sujet
On considère un quadrilatère formé de deux triangles rectangles, comme sur la figure :
La longueur \(a\) de deux côtés est un nombre entier.
On voudrait savoir comment choisir \(a\) pour que la longueur \(b\) soit aussi un entier.
- Donner l'équation \((E)\) vérifiée par \(a\) et \(b\).
- Quels sont les couples ( \(a, b\) ) d'entiers strictement positifs solutions de ( \(E\) ) pour \(a\) compris entre 1 et 12 ?
- On suppose que ( \(a_{0}, b_{0}\) ) est une solution de ( \(E\) ) et on se demande s'il est possible d'en construire une «plus grande», c'est-à-dire une solution ( \(a, b\) ), avec \(a>a_{0}\) et \(b>b_{0}\).
a) Montrer que si ( \(a, b\) ) est une solution de ( \(E\) ), alors nécessairement \(b\) est impair et \(a\) pair.
b) On peut donc chercher une solution sous la forme \(a=a_{0}+2 p, b=b_{0}+2 q\) où \(p\) et \(q\) sont des entiers strictement positifs. Trouver, en fonction de \(a_{0}\) et \(b_{0}\), un couple ( \(p, q\) ) tel que \(\left(a_{0}+2 p, b_{0}+2 q\right)\) soit une solution.
c) Peut-on trouver des valeurs de \(a\) comprises entre 350 et 750 pour lesquelles le nombre \(b\) correspondant soit entier?
- En appliquant deux fois Pythagore, on obtient
\[ b^{2}=a^{2}+\left(1+a^{2}\right)=2 a^{2}+1 \tag{E} \]
- Si on calcule \(b^{2}\) pour \(1 \leqslant a \leqslant 12\), on obtient :
| \(a\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| \(b^{2}\) | 3 | 9 | 19 | 33 | 51 | 73 | 99 | 129 | 163 | 201 | 243 | 289 |
\(b^{2}\) n'est le carré d'un entier que pour \(a=2(b=3)\) et pour \(a=12(b=17)\).
3. a. Si le couple ( \(a, b\) ) satisfait ( \(E\) ), \(2 a^{2}+1\) est impair donc aussi \(b^{2}\) puis \(b\). Mais alors \(b=2 n+1\) et \(b^{2}=4 n^{2}+4 n+1\) donc \(2 a^{2}=b^{2}-1=4(n+1)\) et \(a^{2}=2 n(n+1)\) est pair donc aussi \(a\).
b. \(a\) et \(a_{0}\) ayant la même parité, \(a-a_{0}=2 p\) et de même \(b-b_{0}=2 q\).
En appliquant l'équation ( \(E\) ) aux deux couples ( \(a_{0}, b_{0}\) ) et ( \(a, b\) ), on obtient: