Sujet
Nombres empilés
On écrit les entiers naturels comme indiqué sur le schéma ci-dessus où on s'est arrêté à 25 .
- Quel sera l'entier écrit au bout de la \(18^{\text {ème }}\) ligne?
- Sur quelle ligne est écrit 2010 ?
- La \(n^{\text {ème }}\) ligne comporte \(2 n-1\) termes.
Le dernier élément de la \(n^{\text {ème }}\) ligne est \(n^{2}\); en effet, c'est exact pour \(n=1\) et si c'est exact pour \(n\), la \((n+1)^{\text {ème }}\) ligne comporte \(2(n+1)-1=2 n+1\) de \(n^{2}+1\) à \(n^{2}+2 n+1=(n+1)^{2}\).
L'entier écrit au bout de la \(18^{\text {ème }}\) ligne est donc \(18^{2}=324\).
2. On a la double inégalité : \(44^{2}<1936<2010<2025=45^{2}\).
2010 est donc écrit sur la \(45^{\text {ème }}\) ligne de premier terme 1937.
De \(2010=1936+74\) on déduit que 2010 est le \(74^{\text {ème }}\) terme de la \(45^{\text {ème }}\) ligne.