Sujet
Rectangles carrés
Considérons un triangle ABC non aplati quelconque, d'aire \(\mathcal{A}\).Notons \(a=B C, b=C A\) et \(c=A B\) les longueurs de ses côtés. Soit H le pied de la hauteur issue de B : supposons que H appartienne au segment \([\mathrm{CA}]\) et posons \(h=B H\). Soient quatre points P et Q appartenant au segment \([\mathrm{CA}], \mathrm{R}\) appartenant au segment \([\mathrm{AB}]\) et S appartenant au segment \([\mathrm{BC}]\), de sorte que PQRS soit un rectangle.
Notons enfin \(x=P Q\).
- Exprimer l'aire \(\mathcal{R}\) du rectangle PQRS en fonction des longueurs \(x, h\) et \(b\).
- a. Pour quelle(s) valeur(s) de la longueur \(x\) l'aire \(\mathcal{R}\) est-elle maximale?
b. Dans ce cas, quel est le rapport des aires \(\mathcal{A} / \mathcal{R}\) ? - a. Est-il possible que le rectangle PQRS soit un carré?
b. Si oui, ce carré peut-il être d'aire maximale parmi tous les rectangles PQRS possibles.
- \(\mathcal{R}=x \times R Q\) et, par Thalès : \(\frac{R Q}{h}=\frac{A Q}{A H}=\frac{S P}{h}=\frac{C P}{C H}=\frac{A Q+C P}{A H+C H}=\frac{b-x}{b}\) d'où : \(\mathcal{R}=\frac{x(b-x) h}{b}\).
- a. \(x(b-x)=\frac{b^{2}}{4}-\left(x-\frac{b}{2}\right)^{2}\) est maximum et égal à \(\frac{b^{2}}{4}\) pour \(x=\frac{b}{2}\).
P est alors le milieu dxe \([\mathrm{CH}]\), Q le milieu de \([\mathrm{AH}]\), S le milieu de \([\mathrm{CB}]\) et R celui de \([\mathrm{AB}]\), et \(\mathcal{R}=\frac{b h}{4}\).
b. \(\mathcal{A}=\frac{b h}{2}\) et \(\frac{\mathcal{A}}{\mathcal{R}}=2\).
3. a. PQRS est un carré si \(P Q=P S\) ou \(x=\frac{h(b-x)}{b}\) ou \(x=\frac{b h}{b+h}\).
b. Il est d'aire maximale si \(x=\frac{b}{2}\) donc si \(b=h\).