Exercice 2

Sujet

Des suites de Fibonacci

Les dix nombres \(1-1-2-3-5-8-13-21-34-55\) sont le début de la célèbre suite de Fibonacci, associée à la reproduction des lapins, dont chaque terme s'obtient à partir du troisième en ajoutant les deux termes qui le précédent. On nomme aussi suite de Fibonacci toute succession de termes dont les deux premiers sont choisis arbitrairement, et dont les suivants sont calculés sur le principe que le terme numéro ( \(n+2\) ) est égal à la somme des deux termes précédents : ceux de numéros \((n+1)\) et \(n\), ceci pour tout \(n\) entier strictement positif.

1. Continuez à écrire les termes de la célèbre suite de Fibonacci qui suivent les dix premiers donnés, et arrêtez-vous dès que vous dépassez 2010.
2. a. Dans une autre suite de Fibonacci les deux premiers termes ont pour valeurs \(a\) et \(b\) dans cet ordre. Ecrire les termes suivants de cette suite, en fonction de \(a\) et \(b\), du numéro 3 jusqu'au numéro 10.
   b. Calculez en fonction de \(a\) et \(b\) la somme des dix premiers termes.
   c. Comparez cette somme et la valeur du septième terme.
   d. Vous observez les 10 premiers termes d'une suite de Fibonacci, vous vous rappelez juste que le quatrième à partir de la fin vaut 123 , pouvez-vous donner la somme des 10 termes?
3. a. Vous participez à un jeu de marelle constituée de 10 cases numérotées de 1 à 10 .

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Il s'agit à partir de la case 1 de sauter jusqu'à la case 10. Vous avez le droit de sauter d'une case à la suivante, ou bien de sauter par dessus une case pour se trouver une case plus loin. Combien y a-t-il de possibilités différentes d'arriver sur la case 10 ?
b. On dispose d'autant de cubes de même taille rouges ou bleus qu'on veut. On bâtit des tours de base un cube et de 10 étages de haut, en respectant la condition qu'il n'y ait jamais deux étages rouges successifs. Combien peut-on faire de tours colorées différentes?
4. Tout entier qui ne figure pas dans la célèbre suite de Fibonacci peut être décomposé en somme de plusieurs termes distincts de cette suite, même si on oblige que deux de ces nombres ne doivent pas être consécutifs dans la suite d'origine.
a. Vérifiez cela par écrit pour tous les nombres concernés inférieurs à 34 et vérifiez aussi qu'avec toutes les contraintes la décomposition est unique (c'est-à-dire se fait d'une seule façon).
b. Ecrivez maintenant la décomposition du nombre 2010 en somme de termes de la célèbre suite de Fibonacci.
c. Dans la décomposition de chaque nombre il y a une plus petite composante (le plus petit nombre utilisé). Considérez les plus petites composantes possibles rencontrées dans les décompositions des nombres inférieurs à 34 , rangez-les en ordre croissant. Pour chaque plus petite composante, choisir le nombre le plus petit inférieur à 34 qui l'utilise, et écrire la liste en ordre croissant des nombres obtenus : que remarquez-vous?
5. Le tableau ci-dessous est un carré magique : la somme de chaque ligne, de chaque colonne, de chaque grande diagonale est le même nombre : 15 .