Exercice 1 — La Fiac

Sujet

La Foire Internationale de l'Automate Cellulaire se compose de plusieurs bâtiments polygonaux. À chaque sommet de ces polygones, il y a un poste de garde. Chaque soir un poste de garde peut être occupé, ou non, par un gardien. La première nuit, le Directeur de la FIAC décide quels postes vont être occupés. Puis la répartition des gardiens se fait ainsi :

• Si lors de la nuit \(n\), les deux sommets adjacents à un poste étaient tous deux vacants, ou tous deux occupés, alors ce poste sera occupé lors de la nuit suivante \(n+1\).
• Si, au contraire, lors de la nuit \(n\), les deux sommets adjacents à un poste étaient l'un occupé et l'autre non, alors ce poste ne sera pas occupé lors de la nuit \(n+1\).

Exemple : Le bâtiment A est un pentagone. On convient de noter \(G\) les postes occupés par un gardien et \(V\) les postes vacants.

Le directeur décide de la position suivante

La nuit suivante, on obtient la configuration

1. Déterminer les configurations obtenues dans le bâtiment A pour les nuits \(3,4,5\) et pour la nuit 10 .
2. Dans le bâtiment B qui compte 2010 sommets, le directeur place un seul gardien pour la nuit 1 (les 2009 autres postes étant donc vacants). Combien seront-ils pour la nuit 8 ? pour la nuit 99 ?
3. Dans le bâtiment C, superbe octogone (huit sommets), le directeur constate avec affolement lors de la nuit 3 qu'il n'y a plus aucun gardien! Combien en avait-il pourtant postés lors de la nuit 1 ?
4. Le bâtiment D est un heptagone (sept sommets). Le directeur a choisi une disposition des gardes pour la nuit 1 . Lors de la nuit 2 , les gardes du bâtiment D sont-ils en nombre pair?
5. Dans le bâtiment E (neuf sommets), le directeur constate après une semaine que la disposition lors de la nuit 8 est rigoureusement identique à celle choisie lors de la nuit 1 , et que l"un des postes de garde n'a jamais été occupé durant cette période. Combien de gardiens le directeur avait-il postés lors de la nuit 1 ?