Exercice 2 — Un octogone particulier

Ce problème à l'énnoncé très court est très ouvert et comporte de nombreuses voies d'attaque et de résolution; nous en proposons quatre ici.

Calculs préliminaires

Le côté d'un carré d'aire 5 mesure \(\sqrt{5}\) et sa demi diagonale \(\sqrt{\frac{5}{2}}\). Un rectangle d'aire 4 et de diagonale \(2 \sqrt{\frac{5}{2}}=\sqrt{10}\) a des côtés de longueurs \(a\) et \(b\) tels que \(a b=4\) et \(a^{2}+b^{2}=10\) d'où \((a+b)^{2}=18\) et \((a-b)^{2}=2\), puis \(a=2 \sqrt{2}\) et \(b=\sqrt{2}\).
L'angle \(\widehat{B O C}=\theta\) est tel que \(\sin \theta=\frac{4}{5}\) et \(\cos \theta=\frac{3}{5}\) et \(\sin \frac{\theta}{2}=\frac{1}{\sqrt{5}}, \cos \frac{\theta}{2}=\frac{2}{\sqrt{5}}\).

figure 1

1. Voie expérimentale

A l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, on construit successivement

• En noir un cercle \((\mathcal{C})\) de centre O et de rayon \(\sqrt{\frac{5}{2}}\).
• En vert, un rectanngle \(\mathrm{A}_{2} \mathrm{~A}_{4} \mathrm{~A}_{6} \mathrm{~A}_{8}\) inscrit dans ( \(\mathcal{C}\) ) tel que \(A_{2} A_{4}=A_{6} A_{8}=\sqrt{2}\) et \(A_{4} A_{6}=A_{8} A_{2}=2 \sqrt{2}\) et ses diagonales.
• En rouge, un carré \(\mathrm{A}_{3} \mathrm{~A}_{5} \mathrm{~A}_{7} \mathrm{~A}_{1}\) de côté \(\sqrt{5}\) et tel que \(\mathrm{A}_{3}\) soit dans le petit arc \(\widehat{A_{2} A_{4}}\), et ses diagonales.

On calcule alors l'aire de l'octogone \(\mathrm{A}_{1} \mathrm{~A}_{2} \mathrm{~A}_{3} \mathrm{~A}_{4} \mathrm{~A}_{5} \mathrm{~A}_{6} \mathrm{~A}_{7} \mathrm{~A}_{8}\), comme somme d'aires de triangles ou rectangles.
On anime la figure 2 (page suivante) en gardant fixe le rectangle vert et en faisant parcourir à \(\mathrm{A}_{3}\) l'arc \(\widehat{A_{2} A_{4}}\). On constate que l'aire est maximum quand \(\mathrm{A}_{3}\) est au milieu de l'arc \(\widehat{A_{2} A_{4}}\) et donc \(\mathrm{A}_{1}\) au milieu de l'arc \(\widehat{A_{2} A_{8}}\). Elle est alors égale à \(3 \sqrt{5} \approx 6,708\).