Exercice 1 — Énoncé — Olympiades 2010 Paris

Sujet

On considère la fonction \(f\) définie dans \(\mathbb{R}\) par

\[ f(x)=(x+1)-2(x+2)+3(x+3)-4(x+4)+\cdots+2009(x+2009)-2010(x+2010) \]

Résoudre dans \(\mathbb{R}\), l'équation \(f(x)=0\).
Montrer que, pour tout entier relatif impair \(k, f(k)\) est un entier multiple de 2010.

Existe-t-il un entier \(k\) pour lequel \(f(k)=2010\) ?

En regroupant les termes consécutifs deux par deux, \(f(x)\) est la somme de \(i=1\) à \(i=1005\).
de \((2 i-1)(x+2 i-1)-2 i(x+2 i)=-(x+4 i-1)\)
Cette somme est donc égale à \(-1005(x-2013)\).
Dans \(\mathbb{R}\), l'équation \(f(x)=0\) a pour unique solution \(x=2013\).
De \(f(x)=-1005(x-2013)\), on déduit que si \(k\) est impair, \(k-2013\) est pair, et parce que 1005 est impair, \(f(k)\) est multiple de \(1005 \times 2=2010\), on en déduit aussi que \(f(2011)=2010\).