Olympiades · Académie Orléans-Tours · 2010 · Toutes séries
Arithmétique
Les entiers 3, 4 et 5 sont dits consécutifs car \(4=3+1\) et \(5=4+1\), autrement dit, on passe de l'un à l'autre en ajoutant 1 .
Existe-t-il trois autres entiers positifs consécutifs tels que la somme des carrés des deux premiers soit égale au carré du troisième?
2. a. Trouver quatre entiers positifs consécutifs tels que la somme des cubes des trois premiers soit égale au cube du quatrième.
b. Le problème a-t-il d'autres solutions ?
Pour répondre à cette question, on pourra s'aider de l'étude de la fonction \(f\) définie par \(f(x)=x^{3}+(x+1)^{3}+(x+2)^{3}-(x+3)^{3}\)
3. On se propose de démontrer que l'on ne peut pas trouver cinq entiers positifs consécutifs \(a, b, c, d\) et \(e\) tels que : \(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=e^{4}\).
a. On suppose que \(a\) est un entier impair. En recourant à des propriétés de parité, montrer que l'on ne peut pas avoir l'égalité \(a^{4}+(a+1)^{4}+(a+2)^{4}+(a+3)^{4}=(a+4)^{4}\).
b. On suppose que \(a\) est un entier pair. Démontrer que, dans ce cas également, on ne peut pas avoir l'égalité \(a^{4}+(a+1)^{4}+(a+2)^{4}+(a+3)^{4}=(a+4)^{4}\). Pour cela, on pourra s'intéresser au chiffre des unités de l'écriture décimale de l'entier \(a\).
On a \(x^{2}+(x+1)^{2}=(x+2)^{2}\) si et seulement si \(x^{2}-2 x-3=0\) ou \((x-1)^{2}=4\) ou \(x-1=2\) et \(x=3, x+1=4, x+2=5\).
2. a. \(x^{3}+(x+1)^{3}+(x+2)^{3}=(x+3)^{3}\) équivaut à
\[ 2 x^{3}-12 x-18=0 \]
ou \(x^{3}-6 x-9=0\) qui a pour racine \(x=3\). Sur \(]-\infty, 4[, f(x)<0\) et sur \(] 4, \infty[, f(x) \geqslant 0\)
b. De \(f(x)=x^{3}-6 x-9\) on déduit \(f^{\prime}(x)=3 x^{2}-6\).
\(f^{\prime}>0\) pour \(x^{2}>2\) donc sur \(]-\infty,-\sqrt{2}[\cup] \sqrt{2},+\infty[\)
Et \(f^{\prime}<0\) pour \(-\sqrt{2}\(x\) \(-\infty\) \(-\sqrt{2}\) \(\sqrt{2}\) 4 \(f^{\prime}(x)\) \(\longrightarrow\)
\(4 \sqrt{2}-9\)
La seule racine de \(f(x)=0\) est donc 4 .
3. a. Si \(a\) est impair, il en est de même de \(a^{4}\), de \((a+2)^{4}\) et de \((a+4)^{4}\) tandis que \((a+1)^{4}\) et \((a+3)^{4}\) sont pairs. Alors \(a^{4}+(a+2)^{4}\) est pair donc aussi \(a^{4}+(a+1)^{4}+(a+2)^{4}+(a+3)^{4}\) tandis que \((a+4)^{4}\) est impair.
On ne peut donc avoir l'égalité.
b. Soit \(a=q(\bmod 10)\), c'est-à-dire que \(a=10 k+q\) avec \(k \in \mathbb{N}\) et \(0 \leqslant q \leqslant 9\).