Exercice 1

Sujet

ABC est un triangle équilatéral dont le côté a pour longueur \(8 \sqrt{3} \mathrm{~cm}\).
On fera une figure que l'on complètera au fur et à mesure.

Le point H est le pied de la hauteur issue du point A .
Pour tout point M intérieur au triangle ABC , on considère les points P , Q et R définis comme suit :

• la droite passant par le point \(M\) et perpendiculaire au segment \([B C]\) coupe ce segment en \(P\);
• la droite passant par le point M et perpendiculaire au segment \([\mathrm{CA}]\) coupe ce segment en Q ;
• la droite passant par le point \(M\) et perpendiculaire au segment \([A B]\) coupe ce segment en \(R\).

Partie I. Une longueur remarquable

1. Calculer la longueur \(A H\).
2. Démontrer que \(M P+M Q+M R=A H\). Pour cela, on pourra considérer les aires des triangles \(\mathrm{AMB}, \mathrm{BMC}\) et CMA.

Partie II. Un problème d'aire

À tout point M intérieur au triangle ABC , on associe un triplet( \(x ; y ; z\) ) de nombres appelés «coordonnées triangulaires du point \(\mathrm{M} \gg\) et définis de la manière suivante : \(x=M P, y=M Q, z=M R\), où \(M P, M Q\) et \(M R\) représentent les mesures, exprimées en cm , des longueurs respectives des segments [MP], [MQ] et [MR].

On s'intéresse aux points M dont les trois «coordonnées triangulaires » sont des nombres entiers et tels que l'aire du quadrilatère ARMQ soit égale au tiers de l'aire du triangle ABC .

1. Démontrer que le point G , centre de gravité du triangle ABC , vérifie les deux conditions précédentes.
2. Dans cette question, M est un point quelconque intérieur au triangle ABC.

Calculer l'aire du quadrilatère ARMQ en fonction des coordonnées triangulaires \(x, y\) et \(z\) du point M.

Démontrer alors que cette aire est donnée par \(\frac{\sqrt{3}}{6}\left(y^{2}+4 y z+z^{2}\right)\).
3. Existe-t-il des points M , intérieurs au triangle ABC , autres que le point G , dont les «coordonnées triangulaires » sont des nombres entiers et tels que l'aire du quadrilatère ARMQ soit égale au tiers de l'aire du triangle ABC ?