Exercice 3 — Séries à déterminer

Sujet

La monnaie de ce pays est le liard. Dans ce pays imaginaire, il n'y a que des pièces de 3 , de 5 et de 7 liards. Absalon veut faire des achats dans ce pays. Il a une bourse bien garnie, pleine de pièces de 3 , de 5 et de 7 liards.

Première partie :

Dans cette partie, on suppose qu'Absalon va chez un commerçant qui n'a pas un liard en caisse et qui ne peut pas lui rendre la monnaie. Ainsi Absalon doit lui donner la somme exacte.

Trouver toutes les manières de payer 34 liards avec ses pièces.
Trouver toutes les sommes qu'il est possible de payer et toutes celles qui sont impossibles avec de telles pièces.

Deuxième partie :

Dans cette partie, Absalon va chez un commerçant qui peut lui rendre la monnaie.

Donner trois manières différentes de payer 1 liard.
Donner la manière la plus rapîde (celle qui va utiliser le moins de pièces) pour payer 2010 liards.

Première partie

Soit \(t, c, s\) le nombre de pièces de 3,5 et 7 liards utilisées.

On a \(3 t+5 c+7 s=34\) d'où \(s \leqslant 4\).

Si \(s=43 t+5 c=34-28=6\) et la seule possibilité est \(t=2\) et \(c=0\).
Si \(s=3 \quad 3 t+5 c=13=3+10 \quad\) d'où la solution \(t=1\) et \(c=2\).
Si \(s=2 \quad 3 t+5 c=20=4 \times 5 \quad\) d'où la solution \(t=0\) et \(c=4\)

\[ =15+5 \quad \text { d'où la solution } t=5 \text { et } c=1 \text {. } \]

Si \(s=1 \quad 3 t+5 c=27 \quad\) d'où la solution \(t=9\) et \(c=0\)

\[ =12+15 \quad \text { d'où la solution } t=4 \text { et } c=3 \text {. } \]

Si \(s=03 t=34\) n'a pas de solution car 34 n'est pas divisible par 3.

On ne peut payer ni 1 , ni 2 qui sont inférieurs à 3 , 5 et 7 .

On ne peut pas payer 4.
Mais on peut payer toutes les autres sommes : \(3,5,6=3+3,7,8=3+5 \ldots\)
Tout nombre plus grand que 6 est égal à la somme d'un multiple de 3 et de 6,7 ou 8 , qui peut donc être payée.