Sujet
Question préliminaire :
Soit \(p\) et \(q\) entiers naturels non nuls, avec \(p
On admettra que, pour tout entier \(n\) non nul : \(1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\)
- Une marelle circulaire est formée de 7 cases numérotées de 0 à 6 (cf. figure). Un enfant part de la case \(\mathrm{n}^{\mathrm{o}} 0\), avance d'un pas et marque la case \(\mathrm{n}^{\mathrm{o}} 1\) d'une croix, puis il avance de 2 pas et marque la case \(\mathrm{n}^{\circ} 3\) d'une croix, il continue ainsi, avance de 3 pas et marque la case \(\mathrm{n}^{\circ} 6\), il continue ainsi de tourner en ajoutant un pas à chaque étape et en marquant les cases atteintes. Il décide de s'arrêter quand toutes les cases sont marquées d'au moins une croix. Qu'en pensez-vous? Sur quelle case est l'enfant au bout de 10 étapes? Et au bout de 100 étapes?
- Il recommence avec une marelle à 8 cases numérotées de 0 à 7 , son jeu est-il possible? Puis il continue avec une marelle à 9 cases, qu'en pensez-vous?
- On suppose que la marelle a \(N\) cases numérotées de 0 à \(N-1\).
a. Quelle case est atteinte à la \((2 N-1)^{\text {ème }}\) étape ? Que se passe-t-il après la \((2 N-1)^{\text {ème }}\) étape ?
b. Montrer que si la marelle a \(N\) cases avec \(N\) impair, son jeu est impossible
- Soit \(p\) et \(q\) deux entiers avec \(0
a. Dans quels cas a-t-on \(a_{p}=a_{q}\) ?
b. combien de pas sont nécessaires pour aller de \(a_{p}\) à \(a_{q}\) ?
- Montrer que si \(N=2^{k}\) avec \(k\) entier non nul, et si \(p\) et \(q\) sont strictement inférieurs à \(N\), on \(a_{p} \neq 0\) et \(a_{p} \neq a_{q}\) et que le jeu est alors possible.
- Montrer que dans tous les autres cas, le jeu est impossible.