Exercice 2

Sujet

Un solide dans un cube

figure 1

On considère le cube ABCDEFGH (figure 1) de côté \(c\) et de volume \(V\).

1. On rappelle que le volume d'un tétraèdre est égal à \(\frac{1}{3} B \times h\), où \(B\) est l'aire d'une face du tétraèdre et \(h\) la longueur de la hauteur s'appuyant sur cette face.
   Calculer le volume du tétraèdre ABDE .
2. On rappelle qu'un tétraèdre régulier est un tétraèdre dont toutes les arêtes ont la même longueur.
   a. Montrer qu'il est possible de trouver quatre sommets du cube constituant les sommets d'un tétraèdre régulier.
   Calculer le volume de ce tétraèdre en fonction de \(V\).
   b. Justifier qu'on ne peut construire que deux tétraèdres réguliers à partir des sommets du cube.
3. On considère les deux tétraèdres FHAC et EBGD.
   a. Calculer, en fonction de \(V\), le volume du solide obtenu en enlevant tous les points du cube qui n'appartiennent à aucun des deux tétraèdres (voir figure 2).
   b. Calculer, en fonction de \(V\), le volume du solide intersection des deux tétraèdres (voir figure 3).

figure 2

figure 3