Exercice 1

Sujet

La formule d'Euler

Figure 1
Exemple d'un 7-gone

Figure 2
Exemple d'un 7-gone avec subdivision de son intérieur

On appellera \(\boldsymbol{k}\)-gone, un polygone dans le plan ayant \(k\) sommets (et donc aussi \(k\) côtés ou arêtes). Un triangle est donc un 3-gone, un parallélogramme est un 4-gone.

La figure 1 donne un exemple de 7 -gone. On ne considère dans cet exercice que les triangles et les \(k\)-gones dont les diagonales sont dans l'intérieur du \(k\)-gone (une diagonale étant un segment joignant deux sommets non consécutifs).

Pour chaque sommet d'un \(k\)-gone, on appelle angle interne celui qui est à l'intérieur du \(k\)-gone et angle externe celui qui est à l'extérieur. Sur la figure 1, l'angle \(\alpha\) est interne et l'angle \(\beta\) est externe.

1. a. Montrer que pour un 4 -gone, la somme des angles internes est \(2 \pi\) et la somme des angles externes est \(6 \pi\).
   b. Montrer que pour un 5 -gone, la somme des angles internes est \(3 \pi\) et la somme des angles externes est \(7 \pi\).
2. Soit \(k \geqslant 3\)
   a. Montrer que la somme des angles internes d'un \(k\)-gone est \(\pi(k-2)\)
   b. En déduire que la somme des angles externes d'un \(k\)-gone est \(\pi(k+2)\).
3. Soit P un \(k\)-gone. Son intérieur peut-être subdivisé en un ensemble de triangles.

La figure 2 donne un exemple de subdivision de l'intérieur d'un 7-gone.
On note \(f\) le nombre de triangles de la subdivision, \(s\) le nombre total de sommets de la subdivision et \(a\) le nombre total d'arêtes de la subdivision.
a. Sur l'exemple de la figure 2, donner les valeurs de \(s\), a et \(f\), et vérifier que \(s-a+f=1\).
b. En considérant de deux manières différentes la somme des angles en chaque sommet d'un \(k\)-gone, montrer que \(2 s=f+k+2\).
c. Démontrer que \(2 a=3 f+k\).
d. En déduire la formule d'Euler \(s-a+f=1\).