Exercice 4

1. Un damier de 9 cases de côté a donc un nombre impair de cases. Pour recouvrir par des dominos, il est nécessaire que le nombre de cases soit pair. (Donc recouvrement impossible).
2. Un tel damier contient \((2 n)^{2}-1\) cases or \(4 n^{2}-1=(2 n-1)(2 n+1)\), c'est un nombre impair produit de deux nombres impairs, d'où impossibilité. (Un contre exemple avec \(n=1\) était un raisonnement valable).
3. Quand on recouvre par des dominos, on couvre une case blanche et une case noire. Or un damier de \(2 n\) cases de côté auquel on a retiré les deux cases extrémités d'une diagonale ne contient plus un nombre égal de cases noires et blanches d'où impossibilité. (Encore une fois, l'énoncé permettait une démonstration par un contre exemple).
4. Même considération de parité du nombre de cases que dans la question 2.
5. La parité, condition nécessaire, est ici satisfaite.

On pouvait utiliser un raisonnement par récurrence (comme on l'appelle dans certaines séries !) : Pour \(n=1\), donc 3 cases de côté et 8 cases en tout, on s'en convainc par un dessin. On peut alors border par des dominos pour former un damier de 5 cases de côté avec une case otée «en haut à gauche \(\gg\).
Reste à mettre en forme la propriété dite «héréditaire» celle-ci pouvait s'exprimer par un dessin d'autant plus convaincant que la méthode pour border était simple (par exemple en disposant les dominos de bordure perpendiculairement aux côtés du damier).