Sujet
Jeu de «Nîmes»
Règles du jeu
- C'est un jeu à deux joueurs.
- Face à un alignement de bâtonnets, chacun doit, à tour de rôle, retirer 1,2 ou 3 bâtonnets, au choix.
- Celui qui ne peut plus jouer a perdu.
exemple avec 23 bâtonnets
Vous êtes opposé à un adversaire (c'est en fait un ordinateur !).
Partie A : il reste 6 bâtonnets, c'est à votre tour de jouer.
- Décrire deux parties possibles, l'une où vous gagnez, l'autre où vous perdez.
- Élaborer la stratégie gagnante (c'est-à-dire quel(s) coup(s) jouer pour être sûr(e) de gagner la partie quoique fasse l'adversaire).
Partie B : Avec \(n\) bâtonnets, c'est à vous de jouer. - Pour \(n=101\), quelle est la stratégie gagnante?
- Si \(n\) est un nombre entier non nul, existe-t-il une stratégie gagnante?
Partie C : Avec \(n\) bâtonnets et une nouvelle règle du jeu.
Dans cette partie, on modifie la règle du jeu : les joueurs ne peuvent retirer, à chaque tour, que 2 ou 3 bâtonnets. (On n'a plus le droit de retirer un seul bâtonnet) Vous commencez la partie.
Pour quelle(s) valeur(s) de \(n\) y a t'il une stratégie gagnante?
Partie A
1.\[ \begin{array}{ll} 6 \xrightarrow[-2]{6} 4 \xrightarrow[-3]{ } 1 \xrightarrow[-1]{ } 0 & \text { je gagne } \\ 6 \xrightarrow[-3]{ } 3 \xrightarrow[-3]{ } 0 & \text { je perds } \end{array} \]
- La stratégie gagnante