Exercice 2

Sujet

Damiers tronqués et Triminos

On suppose que \(n\) est entier non nul. Soit un damier ayant \(2^{n}\) cases par côté. On enlève une case de coin à ce damier.

Damier tronqué pour \(n=3\)

Un trimino est une pièce de la forme ci-dessous et qui peut recouvrir exactement 3 cases de damier :

Par exemple, si \(n=1\) ( \(2^{1}\) cases par côté, le damier tronqué a donc 3 cases), un seul trimino permet de recouvrir le damier tronqué. Dans la suite recouvrir (par des triminos) un damier tronqué donné signifie que les triminos servant à le recouvrir ne se superposent pas et que toutes les cases du damier tronqué sont exactement recouvertes. Il est permis de tourner les triminos dans tous les sens.

1. Faire un dessin pour \(n=2\) ( 4 cases par côté), et montrer comment recouvrir par des triminos ce damier auquel on a enlevé une case de coin.
2. Faire un dessin pour \(n=4\) ( 16 cases par côté) et montrer comment recouvrir par des triminos ce damier auquel on a enlevé une case de coin.
3. Prouver que si l'on peut recouvrir par des triminos, un damier ayant \(2^{n}\) cases par côté et auquel on a enlevé une case de coin, alors on peut aussi recouvrir par des triminos, un damier ayant \(2^{n+1}\) cases par côté et auquel on a enlevé une case de coin.

A ce niveau, on peut conclure que, pour tout \(n>0\), on peut recouvrir par des triminos, un damier ayant \(2^{n}\) cases par côté et auquel on a enlevé une case de coin.
4. Le nombre \(2^{2^{2010}}-1\) est-il divisible par 3 ?