Exercice 2 — Énoncé — Olympiades 2010 Martinique

Sujet

A chacun son rythme
Deux amis, Al et Béa doivent repeindre le local de leur club. On admet que chacun travaille à un même rythme. Toutefois, ces rythmes sont différents. Ainsi lorsqu'il travaille seul, Al met 3 h pour repeindre le local, alors que Béa met 2 h .

a) Combien de temps mettraient-ils pour peindre le local s'ils commençaient en même temps ?
b) Comme Al travaille plus lentement, il propose à son amie Béa de commencer après lui. Combien de temps après Alain, Béa devrait-t-elle commencer pour qu'ils effectuent la même part de travail?
Finalement, un autre ami, Carl, décide de se joindre à eux pour réaliser la tâche. Ensemble, en commençant en même temps, ils mettent 40 minutes pour repeindre le local. On suppose que Carl travaille, lui aussi, à un rythme constant. Combien de temps aurait-il mis à repeindre le local, s'il avait été seul?
Après ce travail, ils décident dorénavant de ne pas commencer en même temps afin que chacun puisse effectuer la même part de travail et de finir à 10 h . A quelle heure chacun devra-t-il commencer?

Al peint le tiers du local en 1 h et Béa, toujours en 1 h , la moitié local. Ensemble en 1 h , ils peignent \((1 / 3+1 / 2)\) du local soit \(5 / 6\) du local. Ensemble, ils peignent le local en \(6 / 5 \mathrm{~h}\) soit 1 h 12 min ou 72 minutes.
Chacun repeint la moitié du local. Al met 1 h 30 mn et Béa 1h. Donc Béa commence 30 minutes après Al.
En 40 minutes, soit \(2 / 3 \mathrm{~h}\), Al peint \(2 / 9\) du local, Béa \(1 / 3\) et Carl (1-2/9-1/3) soit \(4 / 9\). Carl, tout seul, peint donc le local en \(2 / 3 \times 9 / 4 \mathrm{~h}\) soit 1 h 30 mn .
Chacun devra peindre le tiers du local. Carl met \(1 / 2 \mathrm{~h}\), Béa \(2 / 3 \mathrm{~h}\) et Al 1 h . Carl commence donc à 9 h 30 , Béa à 9 h 20 et Al à 9 h .