Exercice 1 — Énoncé — Olympiades 2010 Martinique

Sujet

Questions pour un matheux

Dans un jeu radiophonique, un candidat est soumis à une série de questions. Ces questions ont deux valeurs différentes : 4 ou 7 points. A chaque fois, le candidat choisit la valeur de sa question, puis il répond. Si la réponse est exacte, il recommence et cela jusqu'à ce qu'il se trompe. Le score du candidat est le total des points obtenus avant la réponse erronée.

Un candidat peut-il obtenir 29 points? Justifier votre réponse.
Un candidat s'est arrêté après 5 questions. Quels sont les scores qu'il a pu réaliser?
Quels sont les scores, superieurs à 4 , impossibles à obtenir à ce jeu. Justifier votre réponse.

Un candidat obtient 29 en répondant correctement à 5 questions, 2 à 4 points et 3 à 7 points. Sa réponse à la \(6^{\text {ème }}\) question est erronée.
La \(5^{\text {ème }}\) question est erronée et les 4 précédentes sont correctes. A l'aide d'un arbre de choix par exemple, on obtient les totaux possibles : \(16,19,22,25\) et 28 .
On constate que \(5,6,10,13\) et 17 sont impossibles à obtenir. Pour \(n \geqslant 18\), en faisant la division euclidienne de \(n-18\) par 4 , on obtient : \(n-18=4 k\) ou \(n-18=4 k+1\) ou \(n-18=4 k+2\) ou \(n-18=4 k+3\) d'où \(n=4(k+1)+2 \times 7\) ou \(n=4(k+3)+7\) ou \(n=4(k+5)\) ou \(n=4 k+3 \times 7\). Ce qui justifie que tout nombre supérieur ou égal à 18 peut être obtenu.