Sujet
La montre
Julie passe cet après-midi l'épreuve des Olympiades !Un peu nerveuse avant l'épreuve, elle regarde fréquemment sa montre à aiguilles de même longueur, mais de couleurs différentes...La tension monte, il est exactement 1 h 30 min 0 s .
- Pour se détendre, elle calcule une mesure de l'angle entre l'aiguille des heures et celle des minutes. Quel résultat exact peut elle avoir trouvé?
- Toujours aussi nerveuse, elle se repose la même question à 1 h 40 min 0 s : quel est alors l'angle entre les deux aiguilles?
- Lorsque l'aiguille des heures tourne de un degré de combien de degrés tourne l'aiguille des minutes?
- Au début de l'épreuve, elle pose sa montre sur la table, il est exactement 2 h 0 min 0 s . Un des exercices, justement un problème de montre, est facile et elle le termine en moins d'une heure. A ce moment Julie constate que l'aiguille supérieure, censée indiquer les secondes, est complètement sortie de l'axe et dessine avec les autres un triangle équilatéral comme indiqué sur le dessin cidessous.
Quel est le nombre entier, par défaut, de secondes que l'aiguille défaillante aurait dû indiquer?
- A 1 h 30 , l'angle des deux aiguilles est : \(180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}\)
- A 1 h 40 , l'angle est de \(240^{\circ}-50^{\circ}=190^{\circ}\).
- En 12 heures, l'aiguille des heures tourne de \(360^{\circ}\) et celle des minutes de \(360 \times 12\), c'est-à-dire 12 fois plus vite; celle-ci tourne donc de \(12^{\circ}\) quand celle des heures tourne de \(1^{\circ}\).
- L'heure cherchée est de la forme 2 heures \(m\) minutes \(s\) secondes et l'angle entre l'aiguille des minutes et celle des heures doit être de \(60^{\circ}\).
L'aiguille des minutes a tourné depuis 2 h 0 min 0 sec de \(6 m+\frac{s}{10}\) degrés car elle tourne de \(6^{\mathrm{o}}\) par minute et dix fois moins vite que l'aiguille des secondes. L'aiguille des heures a tourné 12 fois moins vite depuis 2 h 0 min 0 sec et elle avait tourné de \(60^{\circ}\) de midi à 2 heures.