Exercice 2 — Énoncé — Olympiades 2010 Limoges

Sujet

Jeux de sommes et différences

Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à 3 . On considère la liste des entiers successifs de 1 à \(n\) : \([1,2,3, \ldots, n]\). On lui applique les modifications successives suivantes :

on remplace son deuxième élément par la différence entre le \(3^{\text {ème }}\) et le \(1^{\text {er }}\) éléments;
on remplace son troisième élément par la différence entre le \(4^{\text {ème }}\) et le \(2^{\text {ème }}\) éléments; (Attention : le deuxième élément vient peut-être de changer !)
etc. jusqu'à l'avant dernier élément.
Et, enfin, on remplace le dernier par la différence entre le \(1^{\text {er }}\) et l'avant-dernier éléments.

On s'intéresse à la somme de tous les éléments à l'issue de l'opération, notée \(S_{n}\).
Indications : la somme des entiers de 1 à \(p\) est égale à \(\frac{p(p+1)}{2}\).

Pour \(n=6\), retrouver les étapes qui permettent d'obtenir \(S_{6}=9\).
Déterminer, en détaillant, \(S_{3}, S_{4}\) puis \(S_{5}\).
Etablir une conjecture pour \(S_{2010}\).
Montrer que \(S_{n}\) est un carré parfait si et seulement si \(n\) est pair.

On a \(123456 \rightarrow 123456 \rightarrow 122456 \rightarrow 122356 \rightarrow 122336 \rightarrow 12233(-2)\) d'où \(S_{6}=11-2=9\).
\(123 \rightarrow 123 \rightarrow 12(-1)\) d'où \(S_{3}=2\), \(1234 \rightarrow 1234 \rightarrow 1224 \rightarrow 122(-1)\) d'où \(S_{4}=4 12345 \rightarrow 12345 \rightarrow 12245 \rightarrow 12235 \rightarrow 1223(-2)\) d'où \(S_{5}=6\).
Pour \(n=4\) et \(6, S_{n}=\left(\frac{n}{2}\right)^{2}\). On conjecture donc \(S_{2010}=1005^{2}=1010025\)

Si \(n=2 p\) est pair, les deux derniers états de la liste sont \(12233 \ldots p p 2 p\) puis \(12233 \ldots p p(1-p)\) et \(S_{p}=\frac{2 p(p+1)}{2}-1+1-p=p^{2}\) et la conjecture \(S_{n}=p^{2}\) est bien vérifiée.

Si \(n=2 p+1\) est impair, les deux dernières étapes sont : \(12233 \ldots p p(p+1)(2 p+1)\) puis \(12233 \ldots p p(p+1)(-p)\) et \(S_{2 p+1}=\frac{2 p(p+1)}{2}=p(p+1)\). \(p(p+1)\) n'est pas un carré car \(p^{2}