Exercice 1 — Énoncé — Olympiades 2010 Limoges

Sujet

Comment calculer \(\sqrt{139}\) avec une calculatrice ne possédant que les opérations élémentaires (et les parenthèses).

Partie 1 : motivation

Ecrire \(\sqrt{56}\) sous la forme \(a \sqrt{1-b}\) où \(a\) est un nombre entier et \(b\) une fraction d'entiers appartenant à l'intervalle \(] 0 ; 1[\).
De même, trouver des décompositions pour \(\sqrt{139}\) dont l'une où \(a=18\) que l'on utilisera dans les applications numériques ultérieures.
Montrer que pour tout entier naturel \(n, \sqrt{n}\) admet une telle décomposition.

Partie 2 : Approximation sur \([\mathbf{0

; \mathbf{1}]\) de \(f: x \mapsto \sqrt{1-x}\) par des polynômes.}

Déterminer \(f(1), f(0), f\left(\frac{3}{4}\right)\) et \(f\left(\frac{5}{9}\right)\) sous forme de fractions.
Donner d'autres nombres de \(] 0 ; 1[\) dont on peut calculer l'image par \(f\) sous la forme d'une fraction.
On pose \(L_{1}(x)=1 ; L_{2}(x)=x\) et \(L_{3}(x)=x(x-1)\). On cherche \(r, s, t\) tels que \(f(x)=r L_{1}(x)+s L_{2}(x)+t L_{3}(x)\) pour \(x=0, x=1\) et \(x=\frac{3}{4}\).
Donner le système associé et le résoudre.
Quelle est la précision obtenue dans le calcul de \(\sqrt{139}\) ?

Partie 1 : motivation

Si \(\sqrt{56}=a \sqrt{1-b}, 56=a^{2}(1-b)\) et \(b=1-\frac{56}{a^{2}}\),
\(b\) appartient à \(] 0 ; 1\left[\right.\) si \(0<\frac{56}{a^{2}}<1\) ou \(a^{2}>56\) ou \(a \geqslant 8\).
Par exemple, \(a=8\) et \(b=1-\frac{56}{64}=\frac{1}{8}\).
De même, \(\sqrt{139}=a \sqrt{1-b}\) donne la condition \(a^{2}>139\) ou \(a \geqslant 12\).

On peut écrire \(\sqrt{139}=12 \sqrt{1-\frac{5}{144}}\) ou \(\sqrt{139}=18 \sqrt{1-\frac{185}{324}}\) ou \(\sqrt{139}=24 \sqrt{1-\frac{437}{576}}\).
3. Pour tout entier \(n\) et tout entier \(a\) tel que \(a^{2}>n\), on peut écrire \(\sqrt{n}=a \sqrt{1-b}\) avec \(b=1-\frac{n}{a^{2}}\).

Partie 2 : Approximation sur \([0 ; 1]\) de \(f \mapsto \sqrt{1-x}\) par des polynômes.

\(f(1)=0, f(0)=1, f\left(\frac{3}{4}\right)=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}, f\left(\frac{5}{9}\right)=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}\).
Pour tout couple d'entiers naturels ( \(p, q\) ), avec \(p \leqslant q\), on a \(f\left(1-\frac{p^{2}}{q^{2}}\right)=\sqrt{\frac{p^{2}}{q^{2}}}=\frac{p}{q}\).
\(r=f(0)=1, r+s=f(1)=0, r+\frac{3}{4} s-\frac{3}{16} t=f\left(\frac{3}{4}\right)=\frac{1}{2}\)

D'où \(r=1, s=1\) et \(t=-\frac{4}{3}\)