Sujet
Des triangles de même aire
Héloïse et Mathis cherchent à partager un triangle en des triangles de même aire.| Héloïse | « Mathis, saurais-tu partager un triangle en deux triangles de même aire ? (contruction1) ». |
| Mathis | « C'est trop facile, je peux même le faire avec trois, quatre, autant de triangles que je veux (construction 2). Et toi pourrais-tu partager un triangle ABC en quatre triangles de même aire, l'un d'eux n'ayant aucun sommet commun avec ABC? (construction 3) » |
| Héloïse | « Pas mal, et maintenant un peu plus dur : partage le triangle ABC en trois triangles de même aire sachant que ces trois triangles ont un sommet commun autre que \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\) ou C (construction 4) » |
| Mathis | « C'est trop dur, aide moi ». |
| Héloïse | « Quel point particulier du triangle ABC pourrait-on choisir comme sommet des trois triangles? » |
| Mathis | « J'ai une idée mais comment le démontrer? » |
| Héloïse | « Tu peux commencer en partageant le triangle ABC en six triangles de même aire, ces six triangles ayant un sommet commun autre que \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\) ou \(\mathrm{C} \gg\). |
| Mathis | « Tu as raison, c'est plus facile comme ça ». |
Expliquer et justifier les quatre constructions envisagées.
D'après la première question
- Les triangles GAI et GBI ont la même aire. On la note \(x\).
- Les triangles GBJ et GJC ont la même aire. On la note \(y\).
- Les triangles GCK et GKA ont la même aire. On la note \(z\).
Pour la même raison, les triangles ABJ et ACJ ont la même aire. On en déduit que \(2 x+y=2 z+y\) d'où \(x=z\). On réitère le raisonnement, ce qui prouve que les six triangles ont la même aire. On conclut que les triangles \(\mathrm{GAB}, \mathrm{GAC}\) et GBC ont la même aire.