Sujet
Des triangles géniaux
Un triangle est génial si chaque nombre est le résultat de la soustraction des 2 nombres situés immédiatement en dessous de lui et si chaque nombre est utilisé une et une seule fois. Par exemple les triangles géniaux de 2 rangées obtenus avec les nombres 1,2 et 3 sont :
- Reproduire et compléter le tableau suivant pour obtenir un triangle génial de 3 rangées en utilisant une et une seule fois les nombres \(1,2,3,4,5,6\).
- Dans le tableau suivant, on a déjà placé les nombres 5 et 9 . L'objectif est de compléter ce tableau pour obtenir un triangle génial de 5 rangées utilisant une et une seule fois les nombres entiers de 1 à 15 .
a. Montrer que le nombre 15 se trouve obligatoirement dans la rangée du bas.
b. Montrer que le nombre 14 se trouve obligatoirement dans l'une des 2 rangées du bas.
c. Reproduire et compléter le tableau.
- Par exemple
- a) 15 ne peut être égal à la différence de deux nombres entiers compris entre 1 et 14 .
b) Soit 14 se trouve dans la rangée du bas, soit 14 est égal à la différence de deux nombres de l'ensemble \(\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 15\}\), ce qui n'est possible qu'en faisant \(14=15-1.14\) se trouve alors immédiatement au dessus de 15 et de 1 .