Sujet
Dissections d'un carré
ABCD est un carré de côté 1 . M est un point variable du segment \([\mathrm{DA}]\) différent du point D et du point A ; \(\mathrm{N}, \mathrm{P}\) et Q sont les points respectivement des segments \([\mathrm{AB}],[\mathrm{BC}]\) et \([\mathrm{CD}]\) tels que \(A N=B P=C Q=D M\). Les droites (CM) et (DN) se coupent en S; les droites (DN) et (AP) se coupent en T; les droites (AP) et \((\mathrm{BQ})\) se coupent en U ; les droites \((\mathrm{BQ})\) et \((\mathrm{CM})\) se coupent en V .
- Montrer que le quadrilatère MNPQ est un carré. On admet pour la suite de l'exercice que le quadrilatère STUV est également un carré.
- Existe-t-il une position du point M pour laquelle les quatre triangles QDM, MAN, NBP, PCQ et le carré MNPQ ont la même aire?
- Existe-t-il une position du point M pour laquelle les quatre triangles DTA, AUB, BVC, CSD et le carré STUV ont la même aire?
- Proposer un partage du carré ABCD en 8 triangles rectangles et un carré de même aire.
- On considère un entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 1 . Proposer une démarche pour partager le carré ABCD en \(4 n\) triangles et un carré de même aire.
- Pour tout point M du segment \([\mathrm{DA}]\) différent du point D et du point A , \(\operatorname{aire}(M N P Q)> \operatorname{aire}(M N P)>\operatorname{aire}(M A N)\).
Donc il n'existe pas de position de M pour laquelle les quatre triangles QDM,MAN,NBP,PCQ et le carré MNPQ ont la même aire. - On pose \(D M=x\); aire \((\mathrm{CSD})=\frac{x}{2\left(x^{2}+1\right)}\). Les triangles rectangles \(\mathrm{DTA}, \mathrm{AUB}, \mathrm{BVC}\) et CSD sont isométriques. Ils ont donc la même aire. On résout alors dans l'intervalle \(] 0 ; 1[\) l'équation \(\frac{x}{2\left(x^{2}+1\right)}=\frac{1}{5}\). La seule solution est \(x=\frac{1}{2}\), ce qui donne M milieu du segment [AD].
4. En utilisant la question 3.
On résout dans l'intervalle ] 0 ; 1 [ l'équation \(\frac{x}{2\left(x^{2}+1\right)}=\frac{1}{9}\). La seule solution est \(x=\frac{9-\sqrt{65}}{4}\).On place les points \(\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P}\) et Q correspondants à cette valeur de \(x\). Les quatre triangles DTA, \(\mathrm{AUB}, \mathrm{BVC}\) et CSD ont pour aire \(\frac{1}{9}\) et l'aire du carré STUV est \(\frac{5}{9}\).
On partage ensuite le carré STUV en quatre triangles et un carré de même aire en considérant les