Exercice 1 — Énoncé — Olympiades 2010 Lille

Sujet

Jusqu'au dernier

Antoine et Luc jouent au jeu suivant : On inscrit sur un tableau les nombres entiers de 1 à 64 . Parmi ces nombres, on en choisit deux distincts, \(a\) et \(b\) que l'on efface, mais on inscrit alors leur somme \(a+b\); il reste donc 63 nombres au tableau. On recommence avec ces 63 nombres et ainsi de suite jusqu'au moment où il ne reste plus qu'un seul nombre.
Antoine parie que ce dernier nombre sera pair et Luc parie qu'il sera impair.
Quelles sont les chances que chacun a de gagner?
Reprendre le même problème en remplaçant la somme par la différence \(a-b\).
Antoine et Luc décident de changer les règles du jeu : On inscrit toujours sur un tableau les nombres entiers de 1 à 64. Parmi ces nombres, on en choisit deux distincts, \(a\) et \(b\) que l'on efface, mais on inscrit alors soit \(a+b-1\), soit \(a+b-2\); il reste donc 63 nombres au tableau. On recommence avec ces 63 nombres et ainsi de suite jusqu'au moment où il ne reste plus qu'un seul nombre
a. Quel est le plus grand nombre que l'on peut ainsi obtenir?
b. Quel est le plus petit nombre que l'on peut ainsi obtenir ?
c. Peut-on obtenir 2010? Si oui, de quelle manière?

Chaque fois qu'on remplace 2 nombres par leur somme, on ne change pas la somme de tous les nombres inscrits au tableau. Par conséquent, le dernier nombre écrit au tableau sera la somme des 64 entiers de 1 à 64 soit \(S=2080\). Antoine gagne donc toujours.
La somme et la différence de nombres entiers ont toujours la même parité. Quand on remplace 2 nombres par leur différence, la somme de tous les nombres change mais elle conserve la même parité que \(S=2080\). Le dernier nombre inscrit sera donc pair et à nouveau Antoine gagne toujours.
Le nombre de nombres diminue de 1 unité à chaque étape, il y a donc 63 étapes pour arriver à un seul nombre.
Si, à chaque étape, on remplace \(a\) et \(b\) par \(a+b-1, S\) diminue de 63 , le dernier nombre est donc 2017.

Si, à chaque étape, on remplace \(a\) et \(b\) par \(a+b-2, S\) diminue de 126 , le dernier nombre est donc 1954.

On veut diminuer de 70 en 63 étapes. Si \(x\) est le nombre d'étapes où on remplace \(a\) et \(b\) par \(a+b-2\), on obtient : \(2 x+(63-x)=70\), soit \(x=7\).
On obtient 2010 en remplaçant 7 fois \(a\) et \(b\) par \(a+b-2\) et 56 fois \(a\) et \(b\) par \(a+b-1\).