Exercice 2

Sujet

Le jeu de Pappus

Le «jeu de Pappus» se pratique à deux joueurs sur la configuration géométrique ci-contre.
Cette configuration est composée de 9 points formant 8 alignements de 3 points.
Il est important de noter que les points \(\mathbf{B}, \mathbf{E}\) et \(\mathbf{H}\) ne forment pas un alignement.

Chaque joueur choisit à tour de rôle un point et place sa marque dans le point. Le premier joueur qui parvient à placer sa marque dans les trois points d'un alignement a gagné la partie. Si aucun des deux joueurs n'y parvient, la partie est déclarée nulle.

Alex et Steph décident de jouer au jeu de Pappus. La marque d'Alex est une croix, celle de Steph est un coloriage gris. C'est Alex qui commence.

1. Dans cette première partie, Alex a choisi le point \(\mathbf{A}\) puis, Steph a choisi le point \(\mathbf{D}\).
   (voir la figure ci-contre)
   a) Montrer que si, pour son second coup, Alex choisit le point \(\mathbf{B}\) alors il sera sûr de gagner la partie.
   b) Alex sera-t-il sûr de gagner la partie s'il choisit le point \(\mathbf{C}\) au lieu du point \(\mathbf{B}\) lors de son second coup?
   
2. Dans cette nouvelle partie, Alex a choisi à nouveau le point A puis, Steph a choisi le point \(\mathbf{G}\). (voir la figure ci-contre)

Quel point doit maintenant choisir Alex pour être sûr de gagner la partie?

3. Montrer que, quel que soit le premier point choisi, Alex peut toujours gagner la partie.