Exercice 1 — Énoncé — Olympiades 2010 Guyane

Sujet

Repas en forêt

Lorsqu'il est seul à manger, Jack le jaguar met 4 heures à dévorer un cochon-bois alors que Pete le Puma ne met que 3 heures.

Au cours de leur partie de chasse commune, les deux amis Jack et Pete capturent un cochon- bois.
a) Combien de temps mettraient-ils pour dévorer le cochon-bois s'ils commençaient en même temps?
b) Comme Pete mange plus vite, il propose à son ami Jack de commencer avant lui. Combien de temps après Jack, Pete devrait-t-il commencer pour qu'ils mangent la même quantité?
Finalement, les deux amis décident de rapporter le cochon-bois chez eux pour le partager avec leur amie Clara, la terrible femelle caïman noir. Ensemble, ils mettent une heure pour dévorer le cochon-bois. Combien de temps aurait mis Clara à dévorer le cochon-bois si elle avait été seule à manger?
Quelques jours plus tard, Clara a invité ses deux amis à manger un autre cochon-bois. Comme les trois amis ne mangent pas à la même vitesse, ils ont décidé de ne pas commencer en même temps afin que chacun mange la même quantité. Le repas s'est terminé à 14 h . A quelle heure chacun a-t-il commencé à manger ?

a. Découpons le cochon bois en 12 portions égales (!...)

Jack mange \(\frac{12}{4}=3\) portions en 1 h soit une portion en \(\frac{60}{3}=20 \mathrm{mn}\).
Et Pete mange \(\frac{12}{3}=4\) portions en 1 h soit une portion en \(\frac{60}{4}=15 \mathrm{mn}\).
Ensemble, ils mangent donc 7 portions en 1 h soit une portion en \(\frac{1}{7}\) d'heure. Et comme il y a 12 portions, il leur faut \(\frac{12}{7}\) d'heure soit, \(1,71 \mathrm{~h}\) ou, environ 1 h et 43 minutes.
On peut aussi résoudre cette question algébriquement.
Soit \(x\) le temps en heure mis pour dévorer le cochon bois. Durant ce temps, la proportion de cochon-bois dévorée par Jack est de \(\frac{x}{4}\) et celle dévorée par Pete est de \(\frac{x}{3}\). On a donc:

\[ \frac{x}{4}+\frac{x}{3}=1 \]

D'où l'on tire facilement :

\[ \frac{7 x}{12}=1 \text { soit } x=\frac{12}{7} \]

b. Pour manger autant, il faut qu'ils mangent \(\frac{1}{2}\) cochon chacun, soit 6 portions. Pour manger ces 6 portions, Jack met \(6 \times 20=120 \mathrm{mn}\) alors que Pete met \(6 \times 15=90 \mathrm{mn}\). Il faut donc que Pete commence 30 mn après Jack.
2. Comme en 1h, Jack et Pete mangent 7 portions, Clara en mange \(12-7=5\).

Donc il lui faut \(\frac{60}{5}=12 \mathrm{mn}\) pour manger une portion. Et donc, pour manger tout le cochon-bois, il lui faudrait \(12 \times 12=144 \mathrm{mn}\), soit 2 h et 24 mn .