Sujet
Polygones réguliers
« Dans un polygone régulier à \(n\) côtés, inscrit dans le cercle trigonométrique, la somme des carrés des distances entre un sommet et les autres sommets est égale à \(2 n \gg\).Vérifier la propriété pour :
a. \(n=3\)
b. \(n=4\)
c. \(n=5\).
On pourra admettre que \(\cos \frac{2 \pi}{5}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\).
a. Pour un triangle équilatéral ABC inscrit dans le cercle trigonométrique, on a \(O H=\frac{1}{2}\) et \(O A=1\),
d'où \(A B^{2}=4 A H^{2}=4\left(1-\frac{1}{4}\right)=3\)
et \(A B^{2}+A C^{2}=6=2 \times 3\).
b. Pour un carré ABCD , on a \(A B^{2}=A D^{2}=2\)
et \(A C^{2}=4\)
d'où \(A B^{2}+A C^{2}+A D^{2}=8=2 \times 4\)
c. Pour un pentagone régulier ABCDE , on a
\(\widehat{B O A}=\frac{2 \pi}{5}\) et \(\widehat{C O A}=\frac{4 \pi}{5}\),
d'où \(A B=2 \sin \frac{\pi}{5}\) et \(A C=2 \sin \frac{2 \pi}{5}\)
et \(2 A B^{2}+2 A C^{2}=8 \sin ^{2} \frac{\pi}{5}+8 \sin ^{2} \frac{2 \pi}{5}\).
Or, \(2 \sin ^{2} \frac{\pi}{5}=1-\cos \frac{2 \pi}{5}\)
et \(\sin ^{2} \frac{2 \pi}{5}=1-\cos ^{2} \frac{2 \pi}{5}\).
\[ \text { D'où } \begin{aligned} 2 A B^{2}+2 A C^{2} & =4\left(\frac{5-\sqrt{5}}{4}+\frac{5}{4}+\frac{\sqrt{5}}{4}\right) \\ & =10=2 \times 5 \end{aligned} \]