Sujet
Carrés parfaits
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, déterminer tous les carrés ABCD d'aire 20 vérifiant les conditions suivantes :- A appartient à l'axe des abscisses
- B appartient à l'axe des ordonnées
- les coordonnées de \(\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}\) et D sont des entiers naturels.
Le côté d'un carré d'aire 20 mesure \(\sqrt{20}\).
Si A a pour abscisse \(x\) et B pour ordonnée \(y\), on a
\[ A B^{2}=O A^{2}+O B^{2}=x^{2}+y^{2} \]
Les seules solutions entières naturelles de l'équation \(x^{2}+y^{2}=20\) sont : \(x=4, y=2\) et \(x=2, y=4\) AB étant déterminé, C et D sont uniques car, dans le premier quadrant, C a pour coordonnées \((y, x+y)\) et D pour coordonnées \((x+y, x)\). Il y a deux carrés solutions : \(\mathrm{ABCD}(x=4\) et \(y=2)\) et \(\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime} \mathrm{D}^{\prime}\) ( \(x^{\prime}=2, y^{\prime}=4\) ), symétriques l'un de l'autre par la symétrie d'axe la première bissectrice du repère.
Figure 1
Remarque
On peut étudier ce que devient le problème si on remplace le dernier mot (naturels) par relatifs.
Les quatre figures, symétriques par rapport aux deux axes et telles que la figure 3 (resp. 5) est symétrique de la figure 2 (resp. 4) par rapport aux bissectrices, mettent en évidence les seize carrés cherchés.