Exercice 3 — Énoncé — Olympiades 2010 Grenoble

Sujet

On considère un ensemble de trois nombres mystérieux dont on ne connaît que les sommes deux à deux. Ces sommes sont 5, 7 et 8 . Déterminer ces trois nombres mystérieux.
On considère maintenant cinq nombres mystérieux dont les sommes deux à deux sont \(18,24,26\), \(2830,36,38,42,48,50\). Déterminer ces cinq nombres mystérieux.

Soit \(x, y\) et \(z\) les trois nombres.
\(x+y=5, y+z=7\) et \(z+x=8\).
D'où \(x-z=2\) puis \(z=5, x=3, y=2\).
Soit \(x, y, z, u, v\) les cinq nombres dans l'ordre croissant: \(x \leqslant y \leqslant z \leqslant u \leqslant v\)
\(x+y\) est donc la plus petite somme et \(u+v\) la plus grande.
On a donc \(x+y=18, x+z=24, z+v=48\) et \(u+v=50\).
De plus, la somme des dix sommes deux à deux est égale à quatre fois la somme des cinq nombres mystérieux.
Soit \(4(x+y+z+u+v)=340\) ou \(x+y+z+u+v=85\) et \(z=85-18-50=17\), puis \(x=24-17=7, y=18-7=11, v=48-17=31, u=19\).

On vérifie que \(x+u=7+19=26, y+z=11+17=28 y+u=30, z+u=36 x+v=7+31=38, y+v=42\).