Sujet
Variations autour du cône
- Le dessin ci-dessous représente un abat-jour conique. Le diamètre du cercle de base est 30 cm , celui du cercle de tête (le cercle du haut) 15 cm , la hauteur 18 cm .
On décide de découper une pièce de tissu pour le garnir.
Réaliser un patron à l'échelle \(1 / 3\). On rédigera les éléments de construction et fera figurer sur le dessin les points B et C . La partie à découper devra être mise en évidence.
- On découpe dans un disque de rayon R un secteur angulaire pour former le patron d'un cône de révolution. Le rapport de longueur entre l'arc intercepté par le secteur angulaire restant et le cercle est donc un réel compris entre 0 et 1 . On le note \(x\). Par exemple : si \(x=0,75\) le secteur angulaire correspond aux trois quarts du disque.
Le but de cette question est de déterminer la valeur de \(x\) pour que le volume du cône soit maximal.
a. Calculer en fonction de \(x\) et de \(R\) :
i. la longueur de l'arc de cercle intercepté par le secteur angulaire,
ii. le rayon du cercle de base du cône,
iii. le volume du cône.
b. Déterminer la valeur de \(\alpha\) de \(x\) pour laquelle le volume est maximal. On pourra chercher un encadrement de \(\alpha\).
Le calcul de la valeur exacte de \(\alpha\) sera apprécié.
- \(C B^{2}=D A^{2}+(A B-C D)^{2}\)
\[ \begin{aligned} =18^{2}+(15-7,5)^{2} & =18^{2}-7,5^{2} \\ & =324+56,25 \\ & =380,25=19,5^{2} \end{aligned} \]
D'où \(C B=19,5\).
Le patron à l'échelle \(1 / 3\) est donc délimité par deux segments [ CB ] et [ \(\mathrm{C}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}\) ] de longueur 6,5 et deux arcs de cercle de longueur \(r \theta=5 \pi\) et \(R \theta=10 \pi\), avec \(R-r=6.5\)
d'où \(\theta=\frac{5 \pi}{6,5}=\frac{10}{13} \pi\) ou \(\theta \approx 138^{\circ}\)
(Vous trouverez le patron à l'échelle \(1 / 3\) page suivante)
2. a. i. La longueur de l'arc de cercle intercepté par le secteur angulaire utilisé est \((1-x) \times 2 \pi R\)
ii. Le rayon du cercle de base du cône est donc tel que : \(2 \pi \rho=(1-x) \times 2 \pi R\) ou \(\rho=(1-x) R\).
iii. La hauteur du cône satisfait \(R^{2}=h^{2}+\rho^{2}\)
\[ h^{2}=R^{2}-\rho^{2}=R^{2}\left(1-(1-x)^{2}\right)=R^{2} x(2-x) \]
et le volume du cône est donc
\[ V=\frac{1}{3} \pi \rho^{2} h=\frac{1}{3} \pi(1-x)^{2} R^{3} \sqrt{x(2-x)} . \]
b. Posons \((1-x)^{2}=t\) d'où \(x=1-\sqrt{t}\) et \(x(2-x)=(1-\sqrt{t})(1+\sqrt{t})=1-t\) de sorte que \(V=\frac{1}{3} r R^{3} t \sqrt{1-t}\).
La fonction \(t \mapsto t \sqrt{1-t}\) est dérivable sur [ 0,1 ] et sa dérivée est égale à
\[ \sqrt{1-t}-\frac{t}{2 \sqrt{1-t}}=\frac{2-3 t}{2 \sqrt{1-t}} \]
qui est positive si et seulement si \(0