Sujet
Nombres pentagonaux centrés
Un nombre pentagonal centré est un nombre qui peut être représenté par un pentagone ayant un point placé en son centre et tous les autres points disposés autour de ce centre en formant des couches pentagonales successives. Les quatre premiers nombres pentagonaux sont \(1,6,16\) et 31 :
- a. Quel est le cinquième nombre pentagonal centré ?
b. Combien de points faudra-t-il ajouter pour passer au sixième pentagone centré ? - a. Montrer que, pour tout entier naturel non nul \(n, 1+2+\cdots+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}\).
On pourra pour cela observer la figure ci-dessous :
b. En déduire que les nombres pentagonaux centrés peuvent tous être écrits sous la forme \(1+5 \frac{(n-1) n}{2}\) où \(n\) est un entier naturel.
c. 2176 est-il un nombre pentagonal centtré? Indiquer la méthode utilisée pour répondre.
3. a. Quels sont les chiffres des unités possibles pour un nombre pentagonal?
b. Pour quelles valeurs de \(n\) le \(n^{\text {ème }}\) nombre pentagonal est-il pair ?
c. Quel est le chiffre des unités du \(20092010^{\text {ème }}\) nombre pentagonal centré?
- a. Pour obtenir le cinquième nombre pentagonal centré :
Il faut ajouter \(4 \times 5\) points aux 31 du quatrième nombre, le cinquième nombre pentagonal centré est donc 51 .
b. Pour passer au sixième pentagone centré, il faut rajouter \(5 \times 5=25\) points. Le sixième nombre est donc 76 .
2. a. Le triangle de gauche et le triangle de droite contiennent chacun \(1+2+\cdots+(n-1)\) points. Le rectangle en contient \(n(n-1)\) d'où : \(2(1+2+\cdots+(n-1))=n(n-1)\)