Sujet
Droites et cercles tangents
Partie A
Le but de cette partie est de déterminer tous les couples d'entiers naturels non nul ( \(a, b\) ) qui vérifient l'équation\[ (\mathbf{E}): \frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{a b}} \]
- On suppose que ( \(a, b\) ) est un couple d'entiers naturels solution de ( \(\mathbf{E}\) ).
a) Démontrer que \(b=a+2 \sqrt{a}+1\).
b) En déduire qu'il existe un entier naturel non nul \(n\) tel que l'on ait \(a=n^{2}\) et \(b=(n+1)^{2}\). - Résoudre l'équation (E)
Partie B
- Deux cercles \(\mathcal{C}_{1}\) et \(\mathcal{C}_{2}\) de centres respectifs B et C , de rayons respectifs \(b\) et \(c\), sont situés du même côté d'une droite \(\mathcal{D}\), tangents à cette droite respectivement en J et K , et tangents entre eux (figure 1)
figure 1
Démontrer l'égalité \(K J^{2}=4 b c\).
2. On reprend la figure 1 et l'on ajoute un cercle \(\mathcal{C}_{3}\) de centre A et de rayon \(a\), qui est tangent à la droite \(\mathcal{D}\) en I et tangent aux cercles \(\mathcal{C}_{1}\) et \(\mathcal{C}_{2}\) (figure 2)
figure 2
Démontrer l'égalité \(\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\).
3. On considère la figure de la question 2.
a) Donner une infinité de cas où les trois rayons sont des entiers, l'un étant le produit des deux autres.
b) Donner un cas où les trois rayons sont des entiers et où le rayon du petit cercle est égal à 2010 .
Partie A
- a) a et \(b\) étant non nuls, ( \(\mathbf{E}\) ) équivaut à \(\sqrt{b}=\sqrt{a}+1\), qui implique que \(b=a+2 \sqrt{a}+1\).
b) ( \(a+1\) ) étant entier naturel \(p\), on a donc \(2 \sqrt{a}=p\) et \(4 a=p^{2} ; p\) doit donc être pair, \(p=2 n\). On a donc \(a=n^{2}\) et \(b=n^{2}+2 n+1=(n+1)^{2}\). - Pour tout \(n\) entier non nul, \(n+1=n+1\) donc le couple ( \(n^{2},(n+1)^{2}\) ) est solution de ( \(\mathbf{E}\) ).
Partie B
- Soit D la projection orthogonale de B sur (CK); le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle BDC donne
\[ \begin{aligned} & B C^{2}=B D^{2}+D C^{2} \text { ou } \\ & (b+c)^{2}=K J^{2}+(c-b)^{2} \text { ou } \\ & K J^{2}=(b+c)^{2}-(b-c)^{2}=4 b c \end{aligned} \]
- De même, \(J I^{2}=4 a b\) et \(I K^{2}=4 a c\) et comme \(J K=J I+I K, 2 \sqrt{b c}=2 \sqrt{a b}+2 \sqrt{a c}\) ou, puisque \(a, b\) et \(c\) sont non nuls : \(\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{1}{\sqrt{c}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\).
- a) Si \(c=a b\), on a \(\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{1}{\sqrt{a b}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\). Le couple ( \(a, b\) ) satisfait donc l'équation ( \(\mathbf{E}\) ) de la partie A et les rayons des trois cercles sont donc \(n^{2}, n^{2}(n+1)^{2}\) et \((n+1)^{2}\) où \(n\) parcourt \(\mathbb{N}^{*}\)
b) Pour \(a, b, c\) non nuls, l'égalité \(\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\) équivaut à \(\sqrt{b c}=\sqrt{a c}+\sqrt{a b}=\sqrt{a}(\sqrt{b}+\sqrt{c})\).
Posons \(\sqrt{b}+\sqrt{c}=s\) et \(\sqrt{b c}=p\), on a \(p=\sqrt{a} s\) et \(\sqrt{b}, \sqrt{c}\) sont racines de l'équation \(X^{2}-s X+p=0\) ou \(X^{2}-s X+s \sqrt{a}=0\).
Soit \(\sqrt{b}=\frac{s-\sqrt{s^{2}-4 \sqrt{a} s}}{2}\) et \(\sqrt{c}=\frac{s+\sqrt{s^{2}-4 \sqrt{a} s}}{2}\)
Posons \(s=\lambda \sqrt{a}\) de sorte que \(s^{2}-4 \sqrt{a} s=\left(\lambda^{2}-4 \lambda\right) a\) et \(\sqrt{s^{2}-4 \sqrt{a} s}=\sqrt{a} \sqrt{\lambda(\lambda-4)}\)
d'où \(\sqrt{b}=\frac{\sqrt{a}(\lambda-\sqrt{\lambda(\lambda-4)})}{2} ; \sqrt{c}=\frac{\sqrt{a}(\lambda+\sqrt{\lambda(\lambda-4)})}{2}\)
Si nous choisissons \(\lambda=4, \sqrt{b}=2 \sqrt{a}\) et \(\sqrt{c}=2 \sqrt{a}\)
Pour \(a=2010\), on obtient \(b=c=4 a=8040\).