Olympiades · Académie Créteil · 2010 · Série S
Équations / Fonctions
Un défi entre copains
Quatre copains se réunissent pour relever le défi suivant trouvé dans un vieux livre de mathématiques :
Trouver toutes les fonctions \(f\) définies sur \(\mathbf{R}\) vérifiant la propriété ( P ) suivante :
Pour tous réels \(a\) et \(b,(a-b) \times f(a+b)-(a+b) \times f(a-b)=4 a b\left(a^{2}-b^{2}\right)\).
Ali utilise la fonction \(x \mapsto x\), Laure utilise la fonction \(x \mapsto x^{2}\) et Yin utilise la fonction \(x \mapsto x^{3}\). Lequel d'entre eux aura trouvé une fonction vérifiant la propriété \((\mathrm{P})\) ?
b. Thomas, le quatrième copain affirme que: « la fonction \(x \mapsto \sin x\) ne vérifie pas la propriété \((\mathrm{P}) \gg\).
Pour cela il a remplacé les réels \(a\) et \(b\) par deux valeurs particulières. Quelles valeurs de \(a\) et de \(b\) a-t-il pu choisir?
2. Ali affirme que : «Si une fonction \(f\) définie sur \(\mathbf{R}\) vérifie la propriété ( P ), alors \(f\) est une fonction impaire »
a. Montrer qu'Ali a raison.
b. La fonction \(x \mapsto x^{4}\) vérifie-t-elle la propriété ( P )?
c. Yin s'interroge sur le fait que : «Si une fonction \(f\) définie sur \(\mathbf{R}\) est une fonction impaire, alors \(f\) vérifie la propriété \((\mathrm{P}) \gg\).
Quelle réponse lui donneriez-vous?
3. a. Laure affirme que : «si une fonction \(f\) définie sur \(\mathbf{R}\) vérifie la propriété ( P ), alors \(f(2)-2 f(1)=6 »\)
Montrer que Laure a raison et expliquer sa démarche.
b. Le groupe de copains annonce qu'il a établi une relation entre \(f\left(\frac{3}{2}\right)\) et \(f(2)\). Quelle relation a-t-il pu trouver?
4. Pour aider ce groupe de copains,
Déterminer une relation entre \(f(x)\) et \(f(1)\) pour \(x\) réel quelconque. De quelle forme sont les fonctions vérifiant la propriété \((\mathrm{P})\) ?
5. Relever le défi posé par ce groupe de copains.
\[ \begin{aligned} (a-b) f(a+b)-(a+b) f(a-b) & =(a-b)(a+b)-(a+b)(a-b)=0 \\ & \neq 4 a b\left(a^{2}-b^{2}\right) \text { si } a \text { et } b \text { sont non nuls et } a^{2} \neq b^{2} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} (a-b)(a+b)^{2}-(a+b)(a-b)^{2} & =(a-b)(a+b)(a+b-(a-b)) \\ & =2 b\left(a^{2}-b^{2}\right) \neq 4 a b\left(a^{2}-b^{2}\right) \\ & \text { si } b \neq 0, a^{2} \neq b^{2} \text { et } a \neq \frac{1}{2} . \end{aligned} \]