Exercice 2 — Énoncé — Olympiades 2010 Créteil

Sujet

Le dictionnaire de MeGa

Le petit MeZoCoDi feuillette le tout nouveau Dictionnaire de MeGa que son ami GaLuZo lui a donné. Ce dictionnaire est un peu particulier :

Il égrène tous les mots possibles formés d'au plus 4 syllabes prises parmi Bu, Co, Di, Ga, Lu, Me et Zo, en commençant par les 7 mots de une syllabe écrits dans l'ordre alphabétique, suivis par les mots de deux syllabes écrits dans l'ordre alphabétique et ainsi de suite jusqu'aux mots de 4 syllabes. Par exemple, Ga, CoDi, MeZo, GaLuZo et MeZoCoDi sont des mots du dictionnaire.
De plus chaque page, sauf éventuellement la dernière, contient exactement 60 mots disposés en quatre colonnes de 15 mots chacune.

Sachant qu'il commence page 1, combien le dictionnaire de MeZoCoDi comporte-t-il de pages?
Combien de mots peut-on lire sur la dernière page?
MeZoCoDi se rend vite compte que son nom et celui de son ami GaLuZo figurent dans le dictionnaire. A quelle page trouvera-t-il son nom ? Et celui de son ami ?
Sachant qu'un mot sur une page est repéré par son numéro de colonne \(x, 1 \leqslant x \leqslant 4\), et son rang dans la colonne \(y, 1 \leqslant y \leqslant 15\), comment les noms de nos deux personnages sont-ils repérés?

Remarque

Ce sujet est le prototype d'un problème ouvert; il laisse en effet au candidat le soin de préciser si un mot peut ou non être composé de syllabes distinctes et ensuite dans quel ordre on remplit les lignes et les colonnes d'une page. Ainsi l'exercice peut-il réunir quatre solutions que nous détaillons ci-dessous.

Nombre de mots du dictionnaire

Nombre de syllabes d'un mot	les syllabes peuvent être répétées	Les syllabes sont distinctes
1	7		7
2	\(7 \times 7\)	\(7 \times 6\)	42
3	\(7^{3}\)	\(7 \times 6 \times 5\)	210
4	\(7^{4}\)	\(7 \times 6 \times 5 \times 4\)	840
TOTAL	2800		1099

De \(2800=46 \times 60+40\) (respectivement \(1099=18 \times 60+19\) ) on déduit que le dictionnaire comporte 46 pages (resp. 18).
2. et la dernière page contient 40 mots (resp. 19).
3. Place de GaLuZo

Mots d'une syllabe	7	7
Mots de deux syllabes (distinctes)	\(7 \times 7=49\)	\(7 \times 6=42\)
Mots de trois syllabes avant GaBuBu (distinctes)	\(3 \times 7 \times 7=147\)	\(3 \times 6 \times 5=90\)
Ga +2 syllabes avant LuBu (distinctes et distinctes de Ga)	\(4 \times 7=\quad 28\)	\(3 \times 5=15\)
Ga Lu et une syllabe avant Zo (distincte de Ga et de Lu)	6	4
GaLuZo	1	1
TOTAL	238	159