Exercice 1

Sujet

Les \(s\)-nombres

On dit qu'un entier naturel est un \(s\)-nombre s'il est impair et s'il ne peut s'écrire que d'une seule façon comme somme d'entiers consécutifs non nuls.
Par exemple, 6 n'est pas un \(s\)-nombre car il n'est pas impair; 1 non plus car il ne se décompose pas en somme d'entiers consécutifs non nuls ;
\(3=1+2\) est la seule décomposition possible de 3 en somme d'entiers consécutifs non nuls; mais \(9=5+4=2+3+4\) n'en est pas un, sa décomposition n'étant pas unique.
Voici la liste des 11 premiers entiers impairs supérieurs ou égaux à 3 et l'ensemble de leurs décompositions en somme d'entiers consécutifs non nuls :

\(3=1+2\)	\(5=2+3\)	\(7=3+4\)	\(9=4+5=2+3+4\)
\(11=5+6\)	\(13=6+7\)	\(15=7+8=4+5+6\)	\(17=8+9\)
\(19=9+10\)	\(21=10+11=6+7+8=1+2+3+4+5+6\)	\(23=11+12\).

a. Montrer que 25 n'est pas un \(s\)-nombre. Qu'en est-il de 27 et de 49 ?
b. Sachant que, dans l'ordre, le premier \(s\)-nombre est 3 , le deuxième \(s\)-nombre 5 , quel est le neuvième \(s\)-nombre?
c. Conjecturer une propriété qui caractérise l'ensemble des \(s\)-nombres.

1. Montrer que tout nombre impair peut s'écrire comme somme de deux entiers consécutifs.
2. La figure 1 ci-dessous illustre une décomposition de 25 en 5 entiers consécutifs \((3+4+5+6+7)\) à l'aide de 25 petits carrés ; la figure 2 montre un rectangle formé de deux exemplaires de la figure 1 .

figure 1

figure 2

En considérant le nombre de petits carrés du rectangle, on a ainsi l'égalité : \(2 \times 25=5 \times 10\).
a. A quoi correspondent le nombre de lignes et le nombre de colonnes du rectangle par rapport à la décomposition \(3+4+5+6+7\) ?
b. Généraliser et montrer que si un entier naturel \(n\) est la somme de \(k\) entiers naturels consécutifs alors l'entier \(2 n\) s'exprime de façon simple en fonction de \(k\) et du plus petit terme de la somme.
3. En déduire que si l'entier naturel \(n\) est somme de \(k\) entiers consécutifs non nuls avec \(k \geqslant 3\) alors \(n\) est divisible par \(k\) ou par \(\frac{k}{2}\).
4. Valider la conjecture de la question c.

Deuxième exercice académique

Série S

Énoncé

Un défi entre copains
Quatre copains se réunissent pour relever le défi suivant trouvé dans un vieux livre de mathématiques :
Trouver toutes les fonctions \(f\) définies sur \(\mathbf{R}\) vérifiant la propriété ( P ) suivante :
Pour tous réels \(a\) et \(b,(a-b) \times f(a+b)-(a+b) \times f(a-b)=4 a b\left(a^{2}-b^{2}\right)\).

1. a. Ali, Laure et Yin testent la propriété ( P ) avec des fonctions particulières.

Ali utilise la fonction \(x \mapsto x\), Laure utilise la fonction \(x \mapsto x^{2}\) et Yin utilise la fonction \(x \mapsto x^{3}\). Lequel d'entre eux aura trouvé une fonction vérifiant la propriété \((\mathrm{P})\) ?
b. Thomas, le quatrième copain affirme que: « la fonction \(x \mapsto \sin x\) ne vérifie pas la propriété \((\mathrm{P}) \gg\).
Pour cela il a remplacé les réels \(a\) et \(b\) par deux valeurs particulières. Quelles valeurs de \(a\) et de \(b\) a-t-il pu choisir?
2. Ali affirme que : «Si une fonction \(f\) définie sur \(\mathbf{R}\) vérifie la propriété ( P ), alors \(f\) est une fonction impaire »
a. Montrer qu'Ali a raison.
b. La fonction \(x \mapsto x^{4}\) vérifie-t-elle la propriété ( P )?
c. Yin s'interroge sur le fait que : «Si une fonction \(f\) définie sur \(\mathbf{R}\) est une fonction impaire, alors \(f\) vérifie la propriété \((\mathrm{P}) \gg\).
Quelle réponse lui donneriez-vous?
3. a. Laure affirme que : «si une fonction \(f\) définie sur \(\mathbf{R}\) vérifie la propriété ( P ), alors \(f(2)-2 f(1)=6 »\)
Montrer que Laure a raison et expliquer sa démarche.
b. Le groupe de copains annonce qu'il a établi une relation entre \(f\left(\frac{3}{2}\right)\) et \(f(2)\). Quelle relation a-t-il pu trouver?
4. Pour aider ce groupe de copains,

Déterminer une relation entre \(f(x)\) et \(f(1)\) pour \(x\) réel quelconque. De quelle forme sont les fonctions vérifiant la propriété \((\mathrm{P})\) ?
5. Relever le défi posé par ce groupe de copains.