Sujet
« Carrétrice»
Etant donné un couple de demi droites sécantes ( \((O x),(O y))\) formant un angle de mesure \(d\) en degrés \((0
- On suppose dans cette question qu'une mesure de l'angle \(\widehat{x O y}\) est \(45^{0}\). Déterminer à l'aide de la calculatrice une valeur approchée à un degré près par défaut de la mesure de l'angle \(\widehat{C O B}\).
- On se place dans le cas général. Soient A et A ' deux points de la demi-droite ( \(O y\) ) distincts de O , et ABCD et \(\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime} \mathrm{D}^{\prime}\) deux carrés, où \(\mathrm{C}, \mathrm{D}\), C'et \(\mathrm{D}^{\prime}\) sont des points de ( \(O x\) ). Démontrer que les points O B et \(\mathrm{B}^{\prime}\) sont alignés. La demi-droite \([\mathrm{OB})\) est appelée «carrétrice» du couple de demi-droites ((Ox), (Oy)). Si les demi-droites sont confondues, la « carrétrice» leur est égale.
- Est-il possible que la «carrétrice» de (( \(O x\) ), ( \(O y\) )) soit la bissectrice intérieure de l'angle \(\widehat{x O y}\), lorsqu'il n'est pas nul?
- On considère deux demi-droites sécantes ( \(O x\) ) et ( \(O y\) ) formant un angle droit, et \((O t)\) une demi-droite quelconque intérieure au secteur angulaire ( \(x O y\) ). Construire les « carrétrices» (Ou) et (Ov) respectivement des couples ((Ox), (Ot)) et ((Oy), (Ot)). Démontrer que la valeur minimale de l'angle \(\widehat{u O v}\), est obtenue lorsque (Ot) est bissectrice de \(\widehat{u O v}\) et déterminer une valeur approchée en degré à \(10^{-2}\) près par excès de celle-ci.
Rappel
Dans un repère orthonormé, les vecteurs \(\vec{u}(x, y)\) et \(\vec{v}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)\) forment un angle de mesure \(\theta\) tel que\[ \cos \theta=\frac{x x^{\prime}+y y^{\prime}}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}\right)}} \]
- Le triangle DOA est rectangle isocèle donc \(O D=D A=C\) et \(\tan \widehat{C O B}=0,5\) d'où \(\widehat{C O B}=26^{\circ}\) à un degré près par défaut.