Exercice 1

Sujet

Modélisation d'un effet Larsen.

Lorsque qu'une source sonore produit un son, différentes valeurs numériques lui sont attachées, dont l'intensité qui distingue un son « faible» d'un son « fort». Cette intensité s'atténue avec la distance à laquelle l'observateur qui la mesure se trouve de la source; elle peut se mesurer dans une unité physique (watts par mètre carré, \(\mathrm{W} / \mathrm{m}^{2}\) ). L'oreille humaine peut capter des sons allant de \(10^{-12}\) à \(1 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}\) et même au-delà, mais cela devient pénible, un avion à réaction produisant une intensité de l'ordre de 100 \(\mathrm{W} / \mathrm{m}^{2}\). Dans la suite de l'exercice nous ne citerons plus les unités d'intensité.

Sur un amplificateur hifi sont branchés un micro qui capte les sons en entrée et un haut-parleur en sortie qui les restitue. Si \(I\) est l'intensité d'un son présenté devant le micro alors ce son se retrouve reproduit par le haut-parleur avec une intensité \(I^{\prime}\) qui dépend du réglage du volume. Cet amplificateur fournit au maximum une intensité égale à 20 donc, quelque soit le réglage du volume, \(I^{\prime}\) reste inférieure ou égale à 20 , et lorsque \(I^{\prime}\) est égale à 20 on dit qu'il y a «saturation ».

Tant que ce seuil maximal n'est pas atteint, à chaque position du réglage du volume, l'intensité d'entrée \(I\) est multipliée par un coefficient \(k\), nombre réel positif qui dépend de la position du curseur de réglage du volume. Lorsque le curseur de réglage du volume est placé au minimum on a \(k=0\), et lorsque le curseur de réglage du volume est placé au maximum on a \(k=100\), s'il n'y a pas de saturation.
1.
a) Quelle condition doit vérifier l'intensité d'entrée pour éviter une saturation lorsque le volume est réglé au maximum.
b) Dans cette question le volume est réglé pour \(k=10\). Exprimer \(I^{\prime}\) en fonction de \(I\) et tracer la courbe représentative de la fonction qui à \(I\) associe \(I^{\prime}\).
2. L'intensité du son décroit avec la distance qui sépare le point ou il est mesuré de la source sonore; un son produit au niveau du haut-parleur va se propager dans l'air et revenir au niveau du micro avec un certain retard qui fait que les sons ne se superposent pas, et avec une intensité plus faible, estimée ici à \(11 \%\) de l'intensité à la sortie du haut-parleur. Ce son est lui-même transmis à l'amplificateur par le micro.
Le volume étant réglé pour \(k=10\), et dans un environnement de silence supposé absolu on produit un son initial instantané d'intensité 0,000000000001 devant le micro.

Une succession de sons se produisent alors au niveau du haut parleur. Déterminer le nombre de sons d'intensités différentes et calculer leurs intensités respectives. C'est le très désagréable effet Larsen.
3. Peut-on faire disparaître l'effet Larsen, en agissant sur le bouton de volume de l'amplificateur, mais sans le positionner à zéro?